Ko’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar


Reja;Ko'phadning haqiqiy ildizlari



Yüklə 197,69 Kb.
səhifə3/5
tarix15.06.2023
ölçüsü197,69 Kb.
#130858
1   2   3   4   5
KO’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar

2.Reja;Ko'phadning haqiqiy ildizlari
Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko'phadning ildizlari.
(Etyen Bezu (1730-1783) - fransuz matematigi). P(x) ko'phadni x-a ikkihadga bo'lganda bo'linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:
P(x)—(x-a)Q(x)+R(x)
Agar bu munosabatga x—a qo'yilsa, P(a)=0Q(a)+R(a)—R(a)—r hosil bo'ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:

  1. teorema (Bezu). P(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an(a^0) ko'phadni x-a ga bo'lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko'phadning x=a dagi qiymatiga teng, r=P(a).

Masalan, 1) x5+x+20 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+20=-14;

  1. x5+x+34 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+34=0.

Demak, x—-2 soni shu ko'phadning ildizi.
Natijalar. n€N bo'lganda:

  1. xn-anikkihad x-a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(a)—an-an—0;

  2. xn+an ikkihad x-a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(a)—an+an—2xn^0;

  3. x2n-a2n ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n-a2n—0;

  4. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo'linmaydi.Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n+1-a2n+1—- 2a2n+1^0;

  5. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n+1+a2n+1—0;

  6. x2n+a2n ikkihad x+a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(- a)—a2n+a2n—2a2ni^0; Bo'lish bajariladigan hollarda bo'linmalarning ko'rinishini aniqlaymiz:

x5-a5—(x-a)(x4+ax3+a2x2+a3x+a4); x5+a5—(x+a)(x4-ax3+a2x2-a3x+a4);
6 6 / \/5, 4 | 2 3 | 3 2 | 4 | 5 \
x -a —(x-a)(x +ax +a x +a x +a x+a );

  1. misol. x5-ax+4 ni x+3 ga bo'lishdagi qoldiq r=4 bo'lsa, a ni toping.

Yechish. (-3)5-a^(-3)+4=4, bundan a=81.
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an ko'phadni x-a ikkihadga bo'lishdagi qoldiqni hisoblashning Gomer (Xorner Uilyam (1786-1837) - ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko'rsatamiz.
P(x)=Q(x)(x-a)+r
bo'lsin. Bunda
Q(x)=b(xn 1+b1xn 2+b2xn 3+...+bn-1.
(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo'lamiz:
a0=b0
a1=b1-ab0
a2=b2-ab1
an-1 bn-1 abn-2 an r-abn-1
Bundan ko'rinadiki, b0=a0, bk=abk-1+ak, k=1,2,..., n-1, r=an+abn-1. Bo'linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.




a0

a1

a2




an-1

an

a




ab0+a1

ab1+a2




abn-2+an-1

abn-1 + an




0
0
b

b1

b2




bn-1

r



2 О
2-misol. x +4x -3x+5 ko'phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo'lishni bajaramiz.




1

4

-3

5

1

1

5

2

7

Demak, x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.


Bezu teoremasidan P(x) ko'phadni ax+b ko'rinishdagi ikkihadga bo'lishda hosil


bo'ladigan r qoldiq P(-b/a) ga teng bo'lishi kelib chiqadi.
2 9

  1. misol. P3(x)=x -3x +5x+7ni 2x+1 ga bo'lishdan hosil bo'lgan qoldiqni toping. Yechish. Qoldiq r=P3(-1/2)=(-1/3)3-3(-1/2)2+5(-1/2)+7=29/8 ga teng.

  1. teorema. Agar a soni P(x) ko'phadning ildizi bo'lsa, P(x) ko'phad x-a ikkihadga qoldiqsiz bo'linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko'ra, P(x) ni x-a ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq P(a) ga teng, shart bo'yicha esa P(a)=0. Isbot bajarildi.
Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko'phadni chiziqli ko'paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

  1. natija. Agar P(x) ko'phad har xil ah ..., an ildizlarga ega bo'lsa, u (x-a!) ...(x- an) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linadi.

  2. natija. n-darajali ko'phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo'la olmaydi.

Isbot. Agar n- darajali P(x) ko'phad n+1 ta har xil a1t ..., ak+1 ildizlarga ega bo'lganda, u n+1-darajali (x-a1)...(x-ak+1) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linardi. Lekin bunday bo'lishi mumkin emas.
Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540­1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning at haqiqiy koeffitsiyentlari va at ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

  1. a2x +a1x+a0=b(x-a1)(x-a2)=bx -b(a1-a2)x++ba1a2. Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a2 bo'ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:

a1+a2=-a/a2, aa2=a0/a2;
2 О

  1. shu tartibda P3(x)=a3x +a2x +a1x+a0 uchun:

a1+a2+a3=-a2/a3, a1a2+a1a3+a2a3=a1/a3, a1a2a3=-a0/a3 formulalar topiladi.
Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi a t ,.. ., an sonlarining Pn(x) = anxn + ... +a0 ko‘phad ildizlari bo’lishi uchun zarur va yetarlidir.Agar P(x) ko’phad (x- a)k ga qoldiqsiz bo’linsa,lekin, (x- a)k+1 ga qoldiqsiz bo’linmasa, a soni Р(х) uchun k karrali ildiz bo‘ladi.

  1. §.Algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari.

Algebraning asosiy teoremasi (Gauss teoremasi):
n- darajali ( bu yerda n >1) har qanday kophad aqalli bitta kompleks ildizga ega.1
Teorema. Agar z= a + /i kompleks soni haqiqiy koeffitsiyentli P(z) ko’phadning ildizi bo’lsa, z= a — / i kompleks soni ham P(z) kophadning ildizi bo ‘ladi.
Isbot. z kompleks soni P (z) = a0zn + a1zn'x + ... + an-1z+ an ko‘phadning ildizi boTsin. U holda
aozn + a1zn'1 + ... + an1z+ an — 0 yoki
aozn + a1zn'1 + ... + an-1z+ an = 0 tenglik o‘rinli boTadi. Kompleks songa qo'shma sonni topish amalining xossalaridan foydalansak,
a0( z)n + a(z)n~x +... + an _j z + an = 0
tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, z soni ham P(z) ko‘phadning ildizi. Teorema isbot bo‘ldi.
Natija. n-darajali Pn(x) kophad x-a ko‘rinishidagi ikkihadlar va
2
x + px + q ko ‘rinishidagi manfiy diskriminantli kvadrat uchhadlar darajalarining ko ‘paytmasidan iborat:
Pn (x) — a0(x - a)k ... (x2+px+q)m..., bu yerda ke{0, 1, 2,...}, me{0, 1, 2, . . .}.

Yüklə 197,69 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin