Lagranj funksiyasining to‘liq differensiali

13 –ma’ruza. Kanonik formalizm. Dinamikaning Gamilton shakli. Gamilton funksiyasi. Gamiltonning kanonik ko‘rinishdagi harakat tenglamalari. Relyativistik mexanikada Gamilton funksiyasi. Gamilton va Lagranj funksiyalari orasidagi bog‘lanish. Gamilton tenglamalarini variatsiya prinsipi asosida keltirib chiqarish. Kanonik almashtirishlar tushinchasi, ta’rifi va ularning hosil qiluvchi funksiyalar turlari. Puasson qavslari va ularning xususiyatlari. Mexanikaning simmetrik tenglamasi. Rauss funksiyasi. Mopertyun prinsipi, qisqartirilgan ta’sir tushinchasi. Fazaviy fazo tushunchasi Liuvill teoremasi.

Mexanika qonunlarini Lagranj funksiyasi orqali shakllanishini ko‘rib o‘tdik. Lagranj funksiyasi koordinatalar va tezliklar orqali ifodalanadi. Shunday sistemalar mavjudki ularda umumlashgan koordinatalar va impulslar orqali ifodalanishi qulay bo‘ladi. Shuning uchun harakat qonunlarini bu koordinatalardagi ifodalarini topish talab etiladi.

Lagranj funksiyasining to‘liq differensiali

Bu munosabatni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin

(1)

chunki umumlashgan kuch.

Ikkinchi hadni ko‘paytma hosilasi ko‘rinishida yozamiz.

Differensial ostidagi kattalik sistemaning energiyasini beradi va unga Gamilton funksiyasi deyiladi.

(2)


(2*)
Differensial qoidasidan


Kanonik almashtirishlar. Puasson qavslari va ularning xususiyatlari. Mexanikaning simmetrik tenglamasi. Luivill teoremasi
Statistik mexanika fazaviy xajm saqlanishi ya’ni Luivill teoremasiga asoslanadi. Ikki o‘lchamli, koordinata o‘qlariga umumlashgan koordinata va umumlashgan impuls qo‘yiladigan hayoliy fazo fazali fazo deyiladi.
(3)
Integral va ni berilgan qiymatlarida harakat traektoriyasi bo‘yicha olinadi. integral parametrning o‘zgarishida qaralgan yaqinlashishda o‘zgarmaydi va adiabatik invariantlik deyiladi. (1) integral bog‘lanishni ko‘rsatuvchi chiziqdan iborat va fazoviy traektoriya deyiladi. Davriy harakatlanuvchi sistema uchun fazoviy traektoriya – yopiq chiziq. Bu chiziq bo‘ylab olingan integral ichki yuzani anglatadi.
Misol uchun bir o‘lchovli ossillyator uchun adiabatik inveriantni topamiz. Gamilton funksiyasi
ossillyatorning xususiy chastotasi
ga bo‘lsak

Elliptik orbita uchun katta va kichik yarim o‘qlarni tenglamadan yozish mumkin

Ossillyatorda adiabatik invariantlik parametr sekin o‘zgarsa uning energiyasi chastotaga proporsional o‘zgaradi va .

(4)

Bu qidirilayotgan va o‘zgaruvchili tenglamalar Gamilton tenglamalari deyiladi. Bu tenglamalarning oddiyligi va simmetriyasini e’tiborga olib ularni kanonik tenglamalar deb aytiladi.

Gamilton funksiyasidan vaqt bo‘yicha to‘liq differensial quyidagichadir.

Bu munosabatga (4) tenglamalardan va larni qo‘yamiz

(5)
Agar Gamilton funksiyasi vaqtga oshkora bog‘liq bo‘lmasa bo‘ladi, ya’ni energiyaning saqlanish qonuniga keladi. (1) formuladan

- tashqi maydonni xarakterlovchi parametr bo‘lsin (2) formuladan

Bundan
(6)
Xususiy xosilalar birinchi holda doimiyligida va ikkinchi qismida doimiyligida olinadi.
Agar ya’ni qo‘shimchaga ega

(7)
Potensial maydondagi zarraning Gamilton funksiyasi quyidagichadir.