Laplas almashtirishi va uning asosiy xossalari

MA'RUZA №13


LAPLAS ALMASHTIRISHI VA UNING ASOSIY XOSSALARI

13.1.Asosiy tushunchalar va terminlar

13.2.Laplas almashtirishining asosiy xossalari.
13.3.DT larni integrallashda operatsion xisobni kullash uslubieti.
13.4. Misollar


13.1. Asosiy tushunchalar va terminlar

Laplas almashtirish yerdamida dinamik sistemalarni xossalari tadkiki etiladi xamda differensial tenglamalarning yechish jaraeni osonlashtiriladi. Masalan, LA yerdamida differensial tenglamalarni yechish jaraeni algebraik tenglamalarni yechishga keltirilib, teng kuchli yechitmlar olinadi.

Bizga t   (yoki -   t  , lekin (t)=0, t<0 da) bo‘lganda aniqlangan bo‘lakli uzluksiz (t) funksiya berilgan bo‘lsin.
Bunday (t) funksiyani e ^–pt haqiqiy o‘zgaruvchi t ning kompleks funksiyasiga ko‘paytmasi f(t)e ^–pt ni olib, uni 0≤t< da itegrallaymiz. Bu hosmas integral, f(t) funksiya yuqoridagi shartni qanoatlantirganda va a >s₀ bo‘lsa, mavjud va absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu xosmas integral r ning funksiyasi bo‘ladi va uni F(p) bilan belgilaymiz. (R=a+bi, a>0, i= -1 )

Bunday integralning ung tomoniga Laplasning tugri almashtirishi, F(p) funksiyaga, f(t) funksiyaning tasviri; f(t) funksiyaga boshlang‘ich yoki original yeki asli deyiladi va quyidagicha yoziladi:

y

oki
Laplasning teskari almashtirishi. Kompleks uzgaruvchili funksiyaning Laplas teskari almashtirishi deb shunday xakkikiy uzgaruvchili ga aytiladiki, bunda:

Bu yerda —kandaydir xakikiy son.
Kullanilish soxasi:

• 
  differensial va integral tenglamalarni yechishda;
  
• 
  dinamik sistemalarni uzatish funksiyalarini kiymatlarini xisoblashda;.
  
• 
  Boshkaruv nazariyasidagi signallarni kayta ishlashda xamda dinamik sistemalarni chikish signallarini xisoblashda.
  
• 
  matematik fizikaning nostatsionar tenglamalarini yechishda.
  

Ba’zi elementar funksiyalarning Laplas almashtirishlari.



13.2.Laplas almashtirishining asosiy xossalari.

1). Chiziklilik xossasi. Bir necha funksiyalarning algebraik yig‘indisining tasviri qo‘shiluvchi funksiyalar tasvirlarining algebraik yig‘indisiga:

. (2)
(2) ifodaning haqiqiyligi (1) ta’rifga asoslanadi.


2) Tasvirlarni differensiallash. f(t) ning hosilasiniing Laplas almashtirishi tshu funksiyaning tasvirini r ga ko‘paytirilganidan shu funksiyaning 0 nuqtadagi qiymati f(0) ni ayirmasiga teng

Haqikatdan ham, (10 ni r ga ko‘paytirib

.
ga ega bo‘lamiz
Bu amalni n marta bajarib, quyidagiga ega bo‘lamiz
. (3)
(3) ifoda differensiallash teoremasini matematik ko‘rinishidir.
Boshlang‘ich qiymatlar nolga teng bo‘lganda (3) ifoda quyidagiga teng bo‘ladi
.
3). Integrallarni tasviri. Ko‘rsatish qiyin emaski
.
13.3.DT larni integrallashda operatsion xisobni kullash uslubieti.

(1) va (2) xossalariga asosan DT algebraik tenglamaga aylanadi. Bunda boshlang‘ich qiymatlar hisobga olinib integrallashning doimiy o‘zgarmaslari aniqlanadi. Demak,

. (4)
(4) ni ga ko‘paytirib tegishli integrallashni bajarsak, boshlang‘ich, qiymatlarni hisobga olib:
.
Bu yerda
. (5)
Belgilash kiritamiz . U holda (5) Y(p) = W(p)X(p), ko‘rinishda bo‘ladi
. (6)
(6) ifoda, ya’ni boshlang‘ich qiymatlar hisobga olganda sistemaning chiqish o‘zgaruvchisining tasvirini -Y(p) ni, sistemaning kirish o‘zgaruvchisini tasviri -X(p) ga nisbati, sistemaning uzatish funksiyasi deb ataladi.
Teskari masala. Y(p) tasvirga ko‘ra uning orginalini topish Laplasning teskari almashtirishi orqali amalga oshiriladi:
. (7)


13.4. Misollar


Primer 1. Faraz qilaylik, DT quyidagi ko‘rishga ega bo‘lsin
.
W(p), w(t), h(t). Larni topish talab qilinadi

Boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganda, DT ni , Laplas bo‘yicha, almashtiramiz. Va natijada . Bu yerdan uzatish funksiyasi
.
Faraz qilamiz k = 1, a₀ = 1, a₁ = 3, a₂ = 2. Og‘irlik funksiyasini, ya’ni yoyish teoremasidan foydalanamiz.Bu yerda, L{(t)} = 1. U holda
. (9)

Ega bo‘lamiz A(p) = a₀p₂ + a₁p + a₂ = p₂ + 3p + 2 = 0; p1 = –1; p₂ = –2; A(p) = 2p + 3; B(p) = k = 1. U holda B(p), A(p), p1 va p2 ni (9) ga qo‘yib quyidagiga ega bo‘lamiz(Rasm.1, a)

.
Xuddi shuningdek, o‘tish xarateristikasini ham topamiz (Rasm.1 b). Bunda, L{1(t)} = 1/r ekanligi nazarga tutildi. U holda A(p) = (p₂ + 3p + 2)r = 0; p₁ = –1; p₂ =- 2; p₃ = 0; A(p) = 3p₂ + 2r + 2. (8) ifodadan foydalanib
.