Ikkinchi tomondan
Bu oxirgi tenglik bo’lganda
tenglikni keltirib chiқaradi.
Demak, berilgan funkstiya uchun ko’rsatilgan tenglik ҳamma қyimatlar uchun bajariladi.
9. Masala. [0,1] kesmada қuyidagi shartni қanoatlantiruvchi {fn(x)} integrallanuvchi funkstiyalar ketma-ketligini tuzing:
n da fn(x) f(x) deyarli ҳamma joyda
f(x) funkstiya [0,1] da integrallanuvchi
Echish. {fn(x)} funkstiyalar ketma-ketligini қuyidagicha tuzamiz:
n2, 0x<
fn(x)
0, x1
[0,1] kesmada deyarli, n da fn(x) 0 ekanligi ko’rinib turibdi va shu bilan birga
Bu esa 1) va 2) shart bajarilishini ko’rsatadi. Lekin
Bu 3) shart bajarilishini ko’rsatadi.
10.- Masala. Agar
lnx , 0x
fn(x)
cos2x , £x£1
bo’lsa, u ҳolda [0,1] kesmada {fn(x)} funkstiyalar ketma-ketligining limit funkstiyasi integrallanuvchi bo’ladimi?
Echish. Xar қanday x0 uchun x bo’ladigan n0n0(x) son topiladi. Bu esa nn0 bulganda ixtiyoriy x0 uchun fn(x)cos2x, ya’ni n da ixtiyoriy x0 uchun fn(x)cos2x munosabatni bildiradi. Agar x0 bo’lsa, u ҳolda ixtiyoriy n (nN) uchun fn(x). Demak n da deyarli ҳamma joyda fn(x)sos2x va bu limit funkstiya [0,1] da integrallanuvchidir.
Endi chegaralanmagan funkstiyaning Lebeg integraliga doir masalalarni ko’raylik.
Avvalo chegaralanmagan funkstiyaning Lebeg integrali tushunchasini eslaylik.
Faraz қilalylik f(x)0 funkstiya bo’lsin va [f(x)]n esa қuyidagicha aniқlansin.
Bu {f(x)}nfunkstiya chegaralangan va o’lchovli. Demak u integrallanuvchi.
Endi f(x) funkstiyadan E to’plam bo’yicha olingan integralni [f(x)]n funkstiya integralining limiti sifatida aniқlaylik (limit mavjud bo’lgan ҳolda), ya’ni
11.-masala Ushbu
integral -ning қanday қiymatlarida mavjud?
Echish. Bizda a(ch)ch- berilgan. Shuning uchun
deb olamiz.
Endi Lebeg bo’yicha integral қuyidagicha
bunda 0<<1; agar 1 bo’lsa integral mavjud emas.
Demak, berilgan integral 0<<1 da mavjud.
Mustaқil echish uchun masalalar.
1. integralni ҳisoblang, bunda [x] esa x ning butun қismi.
2. Faraz қilaylik A bo’lib, f(x) funkstiya A to’plamda integrallanuvchi va deyarli A ning deyarli ҳamma joyida g(x) m bo’lsin, A to’plamda f(x)g(x) funkstiyaning integrallanuvchi ekanligi isbotlansin.
3. [0,) da
, p>-2, pfunkstiya Riman va Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi ?
integralni ҳisoblang.
5. Agar
bo’lsa, u xolda
tenglik o’rinlimi ?
6. Agar
ctgx, 0£x£
fn(x)
-1, £x£1
bo’lsa, u ҳolda
o’rinlimi?
Faraz қilaylik chegaralangan, manfiymas {fn(x)} o’lchovli funkstiyalar ketma-ketlig uchun n
bo’lsin. U xolda E to’plamning deyarli ҳamma joyida f(x)0
deb tasdiқlash mumkinmi?
8*. Agar f(x)(cosm!nx)2n bo’lsa,
integralni xisoblang.
9.
integralni ҳisoblang
1>
Dostları ilə paylaş: |