Лебег интеграли

Lebeg integrali. Integral ostida limitga utish. Riman va Lebeg integrallarini solishtirish
Reja:

1. 
   Zaruriy tushunchalar.
   
2. 
   Asosiy teoremalar
   
3. 
   Masalalar echish
   
4. 
   Mustaқil echish uchun masalalar.
   

Agar f(x) funkstiyaning E to’plamdagi ҳar xil қiymatlar soni sanoқli to’plamdan ortiқ bo’lmasa, u ҳolda bunday f(x) funkstiya E to’plamda sodda funkstiya deyiladi.
Agar E_k to’plam o’lchovli E_k va



bo’lib

қator yaқinlashuvchi bo’lsa, u xolda E to’plamda berilgan va o’lchovli bo’lgan f(x) sodda funkstiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrllanuvchi deyiladi.

Agar E to’plamdagi f(x) sodda funkstiya integrallanuvchi bo’lsa, u ҳolda

қator Lebeg integrali deyiladi va

deb belgilanadi.
Agar E to’plam deyarli ҳamma joyida f(x) funkstiyaga tekis yaқinlashuvchi integrallanuvchi sodda {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u ҳolda o’lchovli va deyarli ҳamma joyda chekli bo’lgan f(x) funkstiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Agar f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u ҳolda

E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va

deb belgilanadi.

5. 
   Asosiy teoremalar
   

1.Teorema. Faraz қilaylik f(x) sodda funkstiya

, ks)

to’plamda berilgan bo’lsin. Agar E_k to’plamning ҳar biri o’lchovli bo’lsa, u ҳolda f(x) funkstiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.

2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funkstiyadan olingan integral noga teng.
3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funkstiyaning o’zgarishi, uning integral қiymatini o’zgartirmaydi.
Teorema. (additivlik xossasi) Faraz қilaylik E to’plam A_k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A_k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A_k} to’plam soni sanoқli to’plamdan ortiқ bo’lmasin. Agar f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u ҳolda f(x) ҳar bir A_k to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va



shu bilan birga

5.Teorema. Faraz қilaylik E to’plam A_k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A_k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A_k} to’plam sanoқli to’lamdan ortiқ bo’lmasin. Agar f(x) funkstiya ҳar bir A_k to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va

bo’lsa, u ҳolda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.

6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u ҳolda >0,  bo’lib ixtiyoriy eE (e<) uchun

bo’ladi.
7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz қilaylik {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funkstiyaga o’lchov bo’yicha yaқinlashsin va E to’plamda integrallanuvchi bo’lgan (x) uchun

tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U ҳolda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

tenglik o’rinli bo’ladi.

8.Teorema. (B.Levi) Faraz қilaylik {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi қuyidagi shartlarni қanoatlantirsin:

1. 
   {f_n(x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
   
2. 
   E to’plamda f_n(x) funkstiyalar integrallanuvchi bo’lib
   

bo’lsin. U ҳolda

mavjud va f(x) funkstiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga

Natija. Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi uchun E to’plamda

қator yaқinlashuvchi bo’lsa, u ҳolda

қator E to’plamda deyarli ҳamma joyda yaқinlashuvchi bo’ladi va

tenglik bajariladi.

9.Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funkstiya deyarli yaқinlashuvchi bo’lib E to’plamda f_n(x) funkstiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun

bo’lsa, u ҳolda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

bo’ladi.
10.Teorema. [a,b] kesmada berilgan f(x) funkstiya Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun f(x) funkstiya chegaralangan va [a,b] kesmada deyarli ҳamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.

3. Masalalar echish

1.-masala. [-1,1] kesmada integrallanmaydigan sodda funkstiyani tuzing.

Echish. f(x) funkstiyani қuyidagicha tuzamiz. Agar

bo’lsa, f(x)n deb olamiz va x0 bo’lsa, f(x)0 deb olamiz. U xolda f(x) sodda va o’lchovli funkstiyalardan iborat bo’ladi. Agar

E_n

bo’lsa, u ҳolda E_n o’lchovi

E_n

Endi

bo’lgani uchun f(x) funkstiya [-1,1] kesmada integrallanuvchi emas.
2. Masala. Agar R va Q_n-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib
x_n (_kn,_kn)G

bo’lganda

f(x)(_kn-x)(x-_kn)

bo’lsa va xP bo’lganda

f(x)0

bo’lsa, u ҳolda
f(x)dx
integralni ҳisoblang.
Echish. Bunday berilgan f(x) funkstiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning uchun [0,1] da Lebeg ma’nosida va demak Riman ma’nosida ҳam integrallashuvchi. Teoremaga asosan


, PQ [0,1]
Endi P0 bo’lgani uchun 2.teoremaga ko’ra



Bu tenglikni e’tiborga olib teoremaga asosan tenglikka қuyidagini topamiz.

3. Masala. Faraz қilaylik  bo’lib, A to’plamning ҳamma joyida deyarli f(x)>0 bo’lsin. Agar

bo’lsa, u ҳolda 0 ekanligi isbotlansin.

Echish. V to’plamni қuyidagicha aniқlaymiz