Лебег интеграли

Ikkinchi tomondan

Bu oxirgi tenglik  bo’lganda

tenglikni keltirib chiқaradi.

Demak, berilgan funkstiya uchun ko’rsatilgan tenglik  ҳamma қyimatlar uchun bajariladi.

9. Masala. [0,1] kesmada қuyidagi shartni қanoatlantiruvchi {f_n(x)} integrallanuvchi funkstiyalar ketma-ketligini tuzing:

1. 
   n da f_n(x) f(x) deyarli ҳamma joyda
   
2. 
   f(x) funkstiya [0,1] da integrallanuvchi
   
3. 
   
   

Echish. {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligini қuyidagicha tuzamiz:


n², 0x<
f_n(x)
0, x1

[0,1] kesmada deyarli, n da f_n(x) 0 ekanligi ko’rinib turibdi va shu bilan birga

Bu esa 1) va 2) shart bajarilishini ko’rsatadi. Lekin

Bu 3) shart bajarilishini ko’rsatadi.
10.- Masala. Agar

lnx , 0x

f_n(x)
cos²x , £x£1
bo’lsa, u ҳolda [0,1] kesmada {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligining limit funkstiyasi integrallanuvchi bo’ladimi?
Echish. Xar қanday x0 uchun  x bo’ladigan n₀n₀(x) son topiladi. Bu esa nn₀ bulganda ixtiyoriy x0 uchun f_n(x)cos²x, ya’ni n da ixtiyoriy x0 uchun f_n(x)cos²x munosabatni bildiradi. Agar x0 bo’lsa, u ҳolda ixtiyoriy n (nN) uchun f_n(x). Demak n da deyarli ҳamma joyda f_n(x)sos²x va bu limit funkstiya [0,1] da integrallanuvchidir.
Endi chegaralanmagan funkstiyaning Lebeg integraliga doir masalalarni ko’raylik.
Avvalo chegaralanmagan funkstiyaning Lebeg integrali tushunchasini eslaylik.
Faraz қilalylik f(x)0 funkstiya bo’lsin va [f(x)]_n esa қuyidagicha aniқlansin.

Bu {f(x)}_nfunkstiya chegaralangan va o’lchovli. Demak u integrallanuvchi.
Endi f(x) funkstiyadan E to’plam bo’yicha olingan integralni [f(x)]_n funkstiya integralining limiti sifatida aniқlaylik (limit mavjud bo’lgan ҳolda), ya’ni

11.-masala Ushbu

integral -ning қanday қiymatlarida mavjud?
Echish. Bizda a(ch)ch^- berilgan. Shuning uchun

deb olamiz.
Endi Lebeg bo’yicha integral қuyidagicha

bunda 0<<1; agar 1 bo’lsa integral mavjud emas.
Demak, berilgan integral 0<<1 da mavjud.
Mustaқil echish uchun masalalar.
1. integralni ҳisoblang, bunda [x] esa x ning butun қismi.
2. Faraz қilaylik A  bo’lib, f(x) funkstiya A to’plamda integrallanuvchi va deyarli A ning deyarli ҳamma joyida g(x) m bo’lsin, A to’plamda f(x)g(x) funkstiyaning integrallanuvchi ekanligi isbotlansin.
3. [0,) da
, p>-2, pfunkstiya Riman va Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi ?



integralni ҳisoblang.
5. Agar

bo’lsa, u xolda



tenglik o’rinlimi ?
6. Agar
ctgx, 0£x£
f_n(x)
-1, £x£1

bo’lsa, u ҳolda

o’rinlimi?

1. 
   Faraz қilaylik chegaralangan, manfiymas {f_n(x)} o’lchovli funkstiyalar ketma-ketlig uchun n
   

bo’lsin. U xolda E to’plamning deyarli ҳamma joyida f(x)0

deb tasdiқlash mumkinmi?
8*. Agar f(x)(cosm!nx)²ⁿ bo’lsa,

integralni xisoblang.

9.

integralni ҳisoblang