Лебег интеграли

B{x f(x)0}

U ҳolda  ekanligi masala shartidan kelib chikadi. 3.Teoremani e’tiborga olsak A to’plamda f(x)>0 deb қarashimiz mumkin.

Endi faraz қilaylik  bo’lsin. U ҳolda F0 bo’lsa FA berk қism to’plam mavjuddir va F to’plamda f(x) funkstiya uzluksiz bo’ladi (Luzin teoremasiga қarang). F to’plamning ixtiyoriy x nuқtasi uchun f(x)>0 bo’lganidan va f(x) funkstiya F to’plamda uzluksiz bo’lganidan f(x)C tengsizlik o’rinli bo’ladigan S>0 son mavjud.
Endi

Bu қarama-қarshilik (ziddiyat) bizning farazimiz noto’ғri ekanligini ko’rsatadi.

Demak, 0
masala.

integralni ҳisoblang.

Echish. Ma’lumki, ln(1-x^q) funkstiyani [0,1) oraliқda ushbu

darajali қatorga yoyiladi. Bu қator [0,1) da tekis yaқinlashuvchidir. Demak қator ln(1-x^q) funkstiyaga [0,1) ҳamma joyida deyarli yaқinlashadi.

Endi

deb faraz қilaylik. f_n(x) funkstiyalar o’smaydigan ketma-ketlikni tashkil қiladi va uning integrali

Bu esa {f_n(x)} ketma-ketlikning 8.teorema shartlarini қanoatlantirishini ko’rsatadi.

Demak,

5.masala. Ushbu

funkstiya [0,) oraliқda:

a) Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
v) Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
Echish. Қuyidagicha belgilash қilamiz.

f(x) funkstiya x da monoton kamayuvchidir va f(x)0.

g(x) funkstiyaning [0,A] oraliқdagi boshlanғich funkstiyasi tekis chegaralangan. Shuning uchun [0,) da f(x)g(x) funkstiyaning Piman integrali mavjud (Dirixle alomatiga asosan).
Lebeg ma’nosida f(x)g(x) va  f(x)g(x) funkstiyalar bir vaқtda yoki integrallanuvchi yoki integrali mavjud emas. [0,)da f(x)g(x) funkstiyaning integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatamiz.
Ҳaқiқatan ҳam,agar f(x)g(x)integrallanuvchi bo’lsa, u ҳolda sin²xsinx (xR) ga asosan

funkstiya ҳam integrallanuvchi bo’ladi.

Demak [0,) da f(x) va f(x)cos2x funkstiyalar integrallanuvchi.
Lekin

bo’lgani uchun

bu oxirgi қarama-қarshilik (ziddiyat) f(x)g(x) funkstiyaning [0,) da integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatadi.

Demak, bu funkstiyaning Lebeg integrali mavjud emas.
6.masala. f(x) funkstiyaning ixtiyoriy [] da ([(a,b)) Riman integrali mavjud. Bu funkstiyaning [a,b] kesmada integrali mavjudmi?
Echish. Yuқoridagi 10. teoremaga asosan f(x) funkstiya chegaralangan va [a,b] ning deyarli ҳamma joyida uzluksiz bo’lishi kerak.
Ixtiyoriy (a,b) kesmada f(x) funkstiya integrallanuvchi bo’lganligidan f(x) funkstiya (a,b) intervalda deyarli ҳamma joyda uzluksizligi kelib chiқadi. U ҳolda [a,b] kesmaning ҳamma joyida deyarli uzluksiz. Lekin ixtiyoriy (a,b) kesmada f(x)ning chegaralanganligidan [a,b] kesmada chegaralnganligi kelib chiқadi. Ҳaқiқatan ҳam, agar bo’lsa, u ҳolda f(x) funkstiya [a,b] kesmada chegaralanmagan, lekin ixtiyoriy (a,b)da funkstiya chegarlangan.
Demak, f(x) funkstiyaning [a,b] kesmada Riman integrali mavjud bo’lmasligi mumkin.
7.masala. Agar

bo’lsa

tenglik o’rinli bo’ladimi?

Echish. {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi [0,1] kesmada nolga yaқinlashadi. Demak, {f_n(x)} ketma-ketlik n o’lchov bo’yicha nolga yaқinlashadi. Bu esa Lebeg teoremasining (7.teorema) birinchi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Endi



bo’lgani uchun Lebeg teoremasining ikkinchi sharti bajarilmasligini ko’ramiz.
Shunday қilib {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi uchun integrallanuvchi mojaronta (taққoslanuvchi) funkstiya mavjud emasligini tasdiқlaymiz.
Demak, berilgan funkstiya uchun

8.masala. Agar

bo’lsa, u ҳolda  ning қanday қiymatlarida

tenglik o’rinli bo’ladi?

Echish. Ixtiyoriy n{1,2,…} uchun

Bu esa n da x0, x1 nuқtalarda f_n(x)0 ekanligini ko’rsatadi. Agar 0

Ixtiyoriy R(-) uchun n da n^ⁿ0 bo’lganidan n da [0,1] kesmada f_n(x) R.

Shuning uchun R bo’lib n da