Malakaviy bitiruv ishi

KO`RSATKICHLI TAQSIMOT

Ta`rif 8 . Agar uzluksiz X tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi

f x <sup>e

x</sup> , agar x 0

(12)

0, agar x 0
^{ko`rinishda berilgan bo`lsa,} X <sup>tasodifiy miqdor ko`rsatkichli qonun</sup> bo`yicha taqsimlangan tasodifiy deyiladi. Bu yerda biror musbat son. ^{parametrli ko`rsatkichli taqsimot} E ^{orqali belgilanadi. Uning grafigi} 3- rasmda keltirilgan.




x

Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega bo`ladi:

F (x)

1 e ^x , agar x 0,

0, agar x 0.

Uning grafigi 4-rasmda keltirilgan.

x

Endi ko`rsatkichli taqsimotning matematik ko`tilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz.

MX x

0

e ^xdx

b

lim x

b

0

e ^xdx

lim

b

b

xde

0

lim

b

_b b

xe e

0

0

b

xdx

0

DX x ² f

10. 
    dx
    

MX ²

x ² e

0

^x dx

[bo`laklab integrallash formulasini ikki marta qo`llaymiz]=

x e .

Demak, agar

X ~ E

bo`lsa, u holda

MX va DX

NORMAL TAQSIMOT

Normal taqsimot ehtimollari nazariyasida o`ziga xos o`rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya`ni boshqa taqsimotlar ma`lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigan taqsimotdir.

^{Ta`rif 9 .</sup> X <sup>uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo`yicha taqsimlangan} deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega bo`lsa

, x ( 13)

a va ⁰ parametrlar bo`yicha normal taqsimot

N a,

orqali belgilanadi

^. X ~ N a, ^{normal tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi}

F dt

(14)

Agar normal taqsimot parametrlari a 0 va 1 bo`lsa, u standart

normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega:

x2

e ² .
Bu funksiya Gauss funksiyasi deyiladi. Uning grafigi quyidagicha

_x 0,4

0.24

0.053

-1 ⁰

₁ 2 x

Taqsimot funksiyasi

2

₁ x t

x e

2

² dt

ko`rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi. Uning grafigi quyidagicha


0 x

0.5

0 ^x

a va parametrlarni ma`nosini aniqlaymiz. Buning uchun

X ~ N a,

tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

MX e

_dx x a

2

t, almshtirish

bajaramiz

¹ 2 t

2

a e ^t2

2 dt

² te

^t 2 dt

^a e ^t2 dt 0 ^a a

Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,

^{Shunday qilib,} a ^{parametr matematik kutilmasi bildirar ekan.}
Dispersiya hisoblshda almashtirish va bo`laklab integrallashdan
faoydalanamiz:

DX x

f x dx ¹ x

2

e dx

¹ ₂ 2_t 2 _e t ²

2

2dt

2

2
² t ²e ^t2 dt <sup>2

1</sup> te ^t2

2

¹ e ^t2 dt

2

₂ 2 ₁

2

.2

Demak, DX va o`rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.

7-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o`zgarishli tasvirlangan:

3. §. Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyalari.

Bir o`lchovli tasodifiy miqdorlardan tashqari, mumkin bo`lgan qiymatlari 2 ta , 3 ta , …, n ta son bilan aniqlanadigan miqdoirlarni ham o`rganish zarurati tug`iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o`lchovli, uch o`lchovli, … , n o`lchovli deb ataladi.

^{Faraz qilaylik} A, P ^{ehtimollik fazosida aniqlangan}

X₁ ,

X ₂ ,

...,

X_n tasodifiy miqdorlar berigan bo`lsin.

Ta`rif 10. X

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

vektorga tasodifiy vektor yoki n-

o`lchovli tasodifiy miqdor deyiladi.

Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdor har bir elementar hodisa ga n ta

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

tasodifiy miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlarini mos

qo`yadi.

1
FX ,

X ₂ ,

..., X_n

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

P X₁

x₁ , X ₂

x₂ ,

..., X_n x_n

n o`lchovli funksiya X

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

tasodifiy miqdorning taqsimot

funksiyasi yoki

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi

taqsimot funksiyasi dfyiladi.

Qulaylik uchun

1
FX ,

X ₂ ,

..., X_n

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

taqsimot funksiyani

X ₁,

X ₂ ,

..., X _n

indekslarini tushirib qoldirib,

F x₁ ,

x₂ ,

...,

^xn ko`rinishida yozamiz.

F x₁ ,

x₂ ,

..., x_n

funksiya ^X

X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

tasodifiy miqdorning

taqsimot funksiyasi bo`lsin. Ko`p o`lchovli funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz.

F x₁ ,

x₂ ,

..., x_n

taqsimot

1.

chegaralangan.

: 0 F

x₁ ,

x₂ ,

...,

x_n 1,

ya`ni taqsimot funkiya

2. F

x₁ ,

x₂ ,

..., x_n

funksiya har qaysi argumentning bo`yicha

kamayuvchi Agar biror x_i bo`lsa, u holda

lim

_xi

F x₁ ,

x₂ ,

..., x_n

F x₁ ,

...,

10. 
    ₁ ,
    

x_{i 1} ,

..., x_n

F

X₁ ,
...,

X_{i 1} ,

X ,

I 1

..., X_n

x₁ ,

...,

^xi 1,

^xi 1,

..., x_n

4. Agar biror x_i bo`lsa, u holda

lim

x_i

F x₁ ,

x₂ ,

..., x_n 0.

3- xossa yordamida keltirib chiqarilgan (k1) taqsimot funksiyaga marginal

(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi.

X X₁ ,

X ₂ ,

..., X_n

tasodifiy

miqdorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni

C

C

k

1
n

n
tengdir.

^.2 ...

n

C

C
n 1 m

n n

n 0

0 n n

C

2

C

2

ga
n n

Masalan, X

X₁ , X ₂

n ikki o`lchovlik tasodifiy miqdorning

marginal taqsimot funksiyalari soni quyidagilardir.

k 2² 2 2

ta bo`lib, ular

F , x₂

F₂ x₂

P X ₂

x₂ .

Soddalik uchun n=2 bo`lgan holda, ya`ni

X ,Y

ikki o`lchovlik

tasodifiy miqdor bo`lgan holni ko`rish bilan cheklanamiz.

X ,Y

ikki o`lchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini

_xi , Y

^y _j ; i

1, n

(15)

Formula yordamida yoki quyidagi jadval ko`rinishida berish mumkin:

	y1	y2		yn
x1	^p11
x2	^p21
…
xn

Bu yerda barcha

^pij

ehtimolliklar yig`indisi birga teng, chunki

_xi , Y y _j birgalikda bo`lmagan hodisalar
to`la gruppani tashkil etadi
formula ikki o`lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.

X ,Y

ikki o`lchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot

qonuni berilgan bo`lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin.

Har bir i

_xi , Y

1, n

_y1 ,

uchun

_xi , Y

_y2 ,

x_i , Y y_m

Hodisalar birgalikda bo`lmagani sababli:

x
p P X

i

<sup>xi pi1

p</sup>i 2

...

^pim.

Demak,

x
p P

i

y

j
p P Y y

j

n

pij

i 1