Manfiy va irrotsional sonlarni kiritish metodikasi va haqiqiy sonlar mavzusini o'qitish metodikasi reja

Teorema: Ixtiyoriy  , va  musbat ratsional sonlar uchun shunday  va  musbat ratsional sonlar topiladiki, bunda  shartni qanoatlantiruvchi
(1)
yoki
(2)
tengliklar o`rinli bo`ladi, hamda  va  sonlar

tengliklar yordamida aniqlanadi. 
Isboti: (1) tenglikni isbotlaylik. Buning uchun (1) tenglikning har ikkala tomonini kubga ko`taramiz.
,
.
Hosil bo`lgan tenglikni mos ravishda

kabi yozib olsak teorema isbot bo`ladi.
Izox.  Yuqoridagi teorema o`rinli bo`lishi uchun  soni imkon qadar ildizdan chiqarilgan bo`lishi va  ifoda umumiy ko`paytuvchidan holi bo`lishi shart.
Endi yuqoridagi 1-misolni yechamiz.
Yechish: Bunda  va  .  shart bajariladi, ya’ni
.
Demak,  ifodada bo`lib,


.
Xullas, va  , ya`ni  .
2-misol:  ning qiymatini toping.
Yechish:  



Demak,  va  , ya`ni

3-misol:  ni hisoblang.
Yechish:   bo`lib,  shart bajarilmaydi. Demak,

bo`lib,  shart bajariladi. Yuqoridagi teoremadan foydalansak,
,
, .
Bundan kelib chiqadiki,

Ta’rif. Haqiqiy son deb cheksiz o’nli kasrga aytamiz.
Haqiqiy sonlar to’plami R simvoli orqali belgilanib, u sonlar o’qi ham deb ataladi. x ∈ R yozuv x haqiqiy son (yoki qisqaroq qilib, son) ekanligini anglatadi.
Ravshanki, ratsional sonlar haqiqiy sonlarning barcha davriy cheksiz o’nli kasrlardan iborat qismiy to’plamini tashkil qiladi, ya’ni Q ⊂ R.
Ratsional bo’lmagan haqiqiy sonlarga irratsional sonlar deyiladi.
Bizning galdagi vazifamiz haqiqiy sonlar uchun arifmetik amallarni, ya’ni qo’shish va ko’paytirishni kiritishdir. Biz bu vazifani keyingi paragrafda amalga oshiramiz. Ushbu paragrafda esa, haqiqiy sonlarning yuqorida o’rnatilgan tengsizlik munosabatlari bilan bog’liq bo’lgan asosiy xossalarini o’rganamiz.
Sonlar o’qining quyidagi qismiy to’plamlarini kiritaylik:
ochiq interval yoki qisqaroq, interval deb

(a,b) = {x ∈ R : a < x < b} to’plamga; yopiq interval yo segment yoki bo’lmasa kesma deb	(1.4.1)
[a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} to’plamga; yarim interval deb	(1.4.2)
[a,b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} yoki	(1.4.3)
(a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} to’plamlarga aytamiz.	(1.4.4)

2. Ushbu bandda biz Q ratsional sonlar to’plami R haqiqiy sonlar to’plamida zich ekanligini ko’rsatamiz.
Ta’rif. Haqiqiy sonlar to’plami R ning biror qismiy to’plami E berilgan bo’lsin. Agar E ning R dan olingan ixtiyoriy interval bilan kesishmasi bo’sh bo’lmasa, E to’plam R da zich deyiladi.
1.4.1* - tasdiq. Q ratsional sonlar to’plami R haqiqiy sonlar to’plamida zichdir.
Isbot. R sonlar o’qidan olingan ixtiyoriy (a,b) interval berilgan bo’lsin. Bu intervalda kamida bitta c ratsional son borligini isbotlaymiz.
Agar a va b sonlar ratsional bo’lsa, masala hal; c sifatida ularning o’rta arifmetik qiymatini olamiz:
.
Shu sababli, faraz qilaylik,

1. 
   = a₀,a₁a₂...
   

va

2. 
   = b₀,b₁b₂...
   

bo’lib, ulardan kamida bittasi, masalan b, irratsional son bo’lsin.
Intervalning ta’rifiga ko’ra a < b. Demak, shunday manfiy bo’lmagan butun k son topiladiki, u uchun
a0 = b0, a1 = b1,..., ak−1 = bk−1
bo’lib,
ak < bk
bo’ladi.
Agar c sifatida quyidagi

3. 
   = b₀,b₁b₂...b_k000...
   

davriy cheksiz o’nli kasrni olganimizda, ravshanki, a ≤ c < b bo’lar edi. Ammo a soni, davri 9 bo’lib, c ga teng bo’lgan cheksiz davriy o’nli kasr bo’lib qolishi ham mumkin. Bu holda a < c tengsizlik bajarilmaydi va natijada, c soni (a,b) interval ichida yotmay qoladi.
Biz bu isbotni ozroq o’zgartiramiz va buning uchun b sonining irratsional ekanligidan foydalanamiz. Ravshanki, j > k bo’lganda b irratsional sonning b_j o’nli belgilari orasida noldan farqlilari topiladi. Bunday o’nli belgilardan birinchisi b_n bo’lsin, ya’ni b_n > 0, n > k. U holda c sifatida davri 0 bo’lgan quyidagi cheksiz davriy o’nli kasrni olamiz:
c = b₀,b₁b₂...b_n000...
O’z-o’zidan ko’rinib turibdiki c < b. Bundan tashqari, a ≤ c va a 6= c ekanligini ko’rish qiyin emas.
Demak, a < c < b. Q.E.D.
Navbatdagi tasdiq ixtiyoriy haqiqiy sonni ratsional sonlar bilan yaqinlashtirish mumkinligini ko’rsatadi.
Ratsional sonlar uchun arifmetik amallar aniqlanganini eslatib o’tamiz.
1.4.2 - tasdiq. Ixtiyoriy haqiqiy c soni berilgan bo’lsin. Har qanday ratsional ε > 0 son olganda ham shunday ikki ratsional α < c va β > c sonlari topiladiki, ular uchun
β − α < ε (1.4.5)
tengsizlik bajariladi.
Isbot. Agar c ratsional son bo’lsa,

deb olishning o’zi yetarli.
Endi c irratsional son bo’lsin. Aniqlik uchun, bu son
c = c₀,c₁c₂c₃...
ko’rinishdagi davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr bo’lsin. Biz n nomerni quyidagi shartdan tanlab olamiz:
.
U holda, ravshanki, (1.1.6) ga ko’ra,

va shuning uchun,

Endi va

10^−^n< ε . α = c0,c1c2...cn000... β = c0,c1c2...cn999...

desak, ravshanki,
β − α = 10⁻ⁿ < ε
bo’ladi.
Q.E.D.