ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining hamjoylilik sharti. Reja

Faraz qilaylik, A va B matrisalarning ustun ranglari teng bo’lsin. U holda A matrisa ustun vektorlari sistemasi bazisi B matrisa ustun vektorlarining ham bazisi bo’ladi. Demak, b∈L(A1,A2,…,An) bo’ladi, ya’ni shunday λ1,λ2,...,λn∈ℱ skalyarlar mavjud bo’lib, λ1A1+λ2A2+...+λnAn = b o’rinli. Demak, (λ1,λ2,...,λn) vektor (2) tenglamaning yechimi bo’ladi va (*) teoremaga ko’ra, (1) ning ham yechimi bo’ladi. Shunday qilib, IV dan I kelib chiqadi. Demak, I, II, III, IV tasdiqlar teng kuchli.

TEOREMA (KRONEKER – KAPELLI). Chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoyli bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.

Bu teoremaning isboti bevosita (**) teoremadan kelib chiqadi.

misollar

• 
  Tenglamalar sistemasini tekshiring.
  

  1.

  2.

1 – misol.

1 – misol.

• 
  Yechish. Sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglarini topamiz.
  

  Demak, asosiy matrisaning rangi r(A) = 2, kengaytirilgan matritsaning rangi r(B) = 3 ga teng: r(A) ≠ r(B), berilgan chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoysiz.

2 – misol

2 – misol

• 
  Yechish. Sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglarini topamiz.
  

  Demak, r(A) = r(B)= 2 , berilgan sistema hamjoyli.

NATIJA. Agar chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matrisasining rangi sistema tenglamalarining soniga teng bo’lsa, u holda tenglamalar sistemasi hamjoyli.

NATIJA. Agar chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matrisasining rangi sistema tenglamalarining soniga teng bo’lsa, u holda tenglamalar sistemasi hamjoyli.

ISBOTI. A va B matrisalar n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasining mos ravishda asosiy va kengaytirilgan matrisalari bo’lsin. U holda ρ(B)≥ρ(A)=m. Ikkinchi tomondan, ρ(B)≤ m, chunki B matritsa m ta satrdan iborat. Shuning uchun, ρ(B)=ρ(A). Kroneker – Kapelli teoremasiga ko’ra, qaralayotgan chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoyli.

http://fayllar.org