Ma’ruza. Fur`e qatori Reja Trigonometrik qator tushunchasi va davriy funksiyani trigonometrik qatorga yoyish

2 Funksiyani Fur`e qatoriga yoyish misollari

Bu bandda funksiyani Fur`e qatoriga yoyishga doir ba’zi-bir misollarni keltiramiz.

1-misol. davrli funksiya oraliqda

kabi aniqlangan bo‘lsin. Bu funksiya bo‘lakli monoton va chegaralangan ekanligi aniqdir (1.1-rasm). Demak, bu funksiyani Fur`e qatoriga yoyish mumkin.
Fur`e koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:
- toq funksiyaning simmetrik oraliq bo‘yicha integrali nolga tengligidan.
.

Shunday qilib,
(2.1)
ni olamiz.
Yuqoridagi teoremaga ko‘ra bo‘lganda o‘rinli bo‘lib,
,
1.1-rasmga qarang.


2-misol. davriy funksiya davrli bo‘lib, bo‘lganda

kabi aniqlangan. Bu funksiya bo‘lakli monoton va chegaralangan ekanligi aniq. Demak, uni Fur`e qatoriga yoyish mumkin (1.1-teorema asosida). Fur`e koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:



,
,
.
.
Demak, bo‘lganda
(2.2)
1.2-rasmga qarang.

Olingan yoyilmada desak,

ni olamiz.
3-misol. davrli funksiya bo‘lib, u kesmada

bilan aniqlangan bo‘lsin. Bu funksiya ham bo‘lakli monoton va chegaralangan ekanligi ravshan. Uning Fur`e koeffitsiyentlari:


.
Fur`e qatoriga yoyilmasi:
,
Bunda desak,

tenglikni, agar desak,

ni olamiz.


3 Juft va toq funksiyalarning Fur`e qatori

Oldingi banddagi 1-misolda toq funksiyaning Fur`e qatoriga yoyilmasini ko‘rdik. Uning tarkibida faqat sinuslar , 2- va 3-misollarda esa juft funksiyani Fur`e qatoriga yoygan edik, ularning tarkibida ozod had va faqatgina kosinuslar qaytnashdi. Bu tasodifiy bo‘lmay umumiy tasnifga egadir.

Aytaylik, davriy funksiya davrli va oraliqda juft bo‘lsin. U holda uning Fur`e koeffitsiyentlari uchun.
;
;
,
lar o‘rinli bo‘ladi. Demak, bu holda ning Fur`e qatoriga yoyilmasi uchun
, (3.1)
, ,
ga ega bo‘lamiz.
Xuddi shunga o‘xshash oraliqda toq bo‘lsin. U holda
, (3.2)
,
ni olish qiyin emas.
Endi funksiya oraliqda aniqlangan bo‘lsin. Agar uni oraliqqa juft (toq) ravishda so‘ngra butun sonlar o‘qi bo‘ylab davrli funksiya sifatida davom etdirsak, buning natijasida hosil bo‘lgan davriy funksiyaning Fur`e qatoriga yoyilmasi uchun (3.1.) ga ((3.2.) ga) ega bo‘lamiz.
Bu hol oraliqda funksiyani kosinuslar (sinuslar) bo‘yicha Fur`e qatoriga yoyish deb yuritiladi.
Masalan, oraliqda bo‘lsa, uning kosinuslar bo‘yicha yoyilmasi (2.2) dan sinuslar bo‘yicha yoyilmasi esa (2.1) dan iborat bo‘ladi.