Ma’ruza. Fur`e qatori Reja Trigonometrik qator tushunchasi va davriy funksiyani trigonometrik qatorga yoyish

ma’ruza.


Fur`e qatori


Reja
1. Trigonometrik qator tushunchasi va davriy funksiyani trigonometrik qatorga yoyish
2 Funksiyani Fur`e qatoriga yoyish misollari
3 Juft va toq funksiyalarning Fur`e qatori
4. davrli funksiyaning Fur`e qatori
5. oraliqdagi Fur`e qatori

Tayanch iboralar: trigonometrik qаtоr, sоnlаr kеtmа-kеtligi, yaqinlаshuvchi, qаtоrgа yaqinlаshuvchiligi, uzоqlаsh, umumiy had, Dalamber shart, garmonik, Fure koeffitsentlari, umumiy had, zarurai shart, shartli yaqinlаshuvchi, yaqinlаshish sohasi, funksiyagi yaqinlаshish, trigonometrik yoyilma, funksiyagayaqinlаsh, juft, toq funksiya yoyilmasi.

Mazkur bobda Fur`ening trigonometrik qatorini keltirish bilan chegaralanamiz.

1. Trigonometrik qator tushunchasi va davriy funksiyani trigonometrik qatorga yoyish
Ushbu

yoki , qisqacha
(1.1)
ko‘rinishidagi funksional qator trigonometrik qator deb ataladi. Bunda sonlar trigonometrik qatorning koeffitsiyentlari deyiladi.
Agar (1.1) funksional qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning yig‘indisidan iborat davrli davriy funksiya bo‘lishi ravshandir.
Endi davrli davriy funksiya berilganda uni (1.1) trigonometriq qator yig‘indisi kabi ifodalash masalasini qo‘yamiz. Bu masalani yechish maqsadida aytilgan funksiyani bitta davr oralig‘i da qarab, u
(1.2)
ko‘rilishda trigonometrik qator yoyilmasi sifatida ifodalangan va uning o‘ng tomonidagi funksional qator oraliqda tekis yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. U vaqtda (1.2) ning har ikki tomonini oraliq bo‘yicha integrallab va o‘ng tomondagi funksional qatorni hadlab integrallab,hamda

bo‘lishini hisobga olib,
(1.3)
ni olamiz.
Agar (1.2) ning har ikki tomonini ga ko‘paytirib, so‘ngra yuqoridagidek integrallash jarayonini bajarsak,
(1.4)
ni, xuddi shunga o‘xshash (1.2) ning har ikki tomonini ga ko‘paytirib, so‘ngra integrallasak,
(1.5)
ni olamiz.
Yuqoridagi (1.3)-(1.5) formulalar bilan aniqlangan larni funksiyaning Fur`e koeffitsiyentlari deb, va bunday koeffitsiyentlarga ega bo‘lgan (1.1) trigonometrik qator esa funksiyaning Fur`e qatori deb ataladi. (1.2) ni funksiyani Fur`e qatoriga yoyish formulasi deyiladi.
Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz.
1.1-teorema. Agar davrli davriy funksiya kesmada bo‘lakli monoton va chegaralangan bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Fur`e qatori barcha nuqtalarda yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi uchun funksiya uzluksiz bo‘lgan nuqtalarda , birinchi jins uzilish nuqtalarda esa

hamda o‘rinli bo‘ladi.
Eslatma. Agar kesmada aniqlangan bo‘lib, bu kesmani chekli sondagi shunday nuqtalar vositasida intervallarda ajratish mumkin bo‘lib, ularning har birida u monoton (keng ma’noda bo‘lishi ham mumkin) bo‘lsa, uni bo‘lakli monoton deb ataladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadaki, funksiya kesmada bo‘lakli monoton bo‘lsa, u faqatgina birinchi jins uzilishga ega bo‘lishi mumkin.
Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz va uning isbotini ba’zi-bir adabiyotlardan (masalan ga qarang) o‘rganish mumkinligini aytamiz.