12-ma’ruza. Trigonometrik funksiyalarni integrallash reja

12-MA’RUZA. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH

Reja:
1. Trigonometrik ifodalarni integrallashda universal almashtirish.
2. Ba’zi trigonometrik funksiyalarni integrallashdagi xususiy soda almashtirishlar.
3. sinx va cosx darajalarining koʻpaytmalari koʻrinishidagi integrallarni hisoblash.
Tayanch soʻzlar: Trigonometrik funksiya, oʻzgaruvchili ratsional funksiya, trigonometrik ifoda, ratsionallashtirish, irratsional ifodalarni integrallash, universal trigonometrik almashtirish, juft boʻlsa, toq boʻlsa, darajani pasaytirish,


1. Trigonometrik ifodalarni integrallashda universal almashtirish

Barcha trigonometrik funksiyalarni sinx va cosx orqali ifodalash mumkin. sinx va cosx ning ratsional funksiyasini koʻrinishda belgilaymiz.

Quyidagi

integralni belgilash yordamida z oʻzgaruvchili ratsional funksiyaning integraliga almashtirish mumkin. Integralni bunday almashtirish ratsionallashtirish deyiladi. Haqiqatdan ham, desak,

Shuning uchun

hosil boʻladi, bunda -z oʻzgaruvchili ratsional funksiya.
Bunday almashtirish koʻrinishdagi har qanday funksiyani integrallashga imkon beradi, shuning uchun bunday almashtirish universal trigonometrik almashtirish deyiladi.
1-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. almashtirishdan foydalanamiz:
.




2. Ba’zi trigonometrik funksiyalarni integrallashdagi
xususiy sodda almashtirishlar.
Koʻpincha, universal trigonometrik almashtirish murakkab ratsional funksiyalarga olib keladi. Shuning uchun, xususiy sodda almashtirishlardan bir nechtasini keltirib oʻtamiz.
1. Agar funksiya sinx ga nisbatan toq boʻlsa, ya’ni
boʻlsa, u holda
almashtirish bu funksiyani ratsionallashtiradi.