12-ma’ruza. Trigonometrik funksiyalarni integrallash reja

2. Agar funksiya cosx ga nisbatan toq boʻlsa, ya’ni
boʻlsa, u holda
almashtirish bu funksiyani ratsionallashtiradi.
3. Agar funksiya sinxva cosx ga nisbatan juft boʻlsa, ya’ni boʻlsa. U holda almashtirish bu funksiyani ratsionallashtiradi.
Bu holda,


almashtirishlar oʻrinli boʻladi.
2-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.Integral belgisi ostidagi funksiya juft funksiya, shuning uchun almashtirishni bajaramiz. U holda, .
Natijada ,

.


3-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostidagi funksiya sinx ga nisbatan toq funksiya . Shuning uchun almashtirishni bajaramiz:

.


3. sinx va cosx darajalarining koʻpaytmalari koʻrinishidagi integrallarni hisoblash.

Agar funksiya sinx va cosx darajalarining koʻpaytmasi boʻlsa, ya’ni koʻrinishdagi integralni hisoblashda, m va n ga bog‘liq holda turli almashtirishlar bajariladi:

a) agar va toq boʻlsa, u holda almashtirish bajariladi;
b) agar va toq boʻlsa, u holda almashtirish bajariladi.


4-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. almashtirishni bajaramiz:



.◄

d) agar ikkala n va m koʻrsatkichlar juft va nomanfiy boʻlsa, u holda trigonometriyadan ma’lum boʻlgan

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanamiz.


5-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Darajani pasaytirish formulasidan foydalanamiz:


◄
e) agar (juft, nomusbat) boʻlsa, u holda yoki almashtirish integralni darajali funksiyalarning integrallari yig‘indisiga olib keladi. Xususan, , va boʻlsa, kasrning suratini ifodaga almashtirish mumkin, bu yerda .