Masalalarni tenglama va jadval tuzib yechishsonli tenglik va tengsizliklarga oid masalalar yechish

A < В tengsizlikni (bunda, A va В — sonli ifodalar) biz rost deymiz, agar A va В ifodalar sonli qiymatlarga ega bo'lib, shu bilan birga A ifodaning sonli qiymati В ifodaning sonli qiymatidan kichik bo'lsa. Masalan, ( 18 - 3 ) : 5 < 3 + 4 tengsizlik rost, chunki (18 - 3): 5 ning qiymati 3 ga, 3 + 4 ning qiymati 7 ga teng, 3 < 7.
A = B, C< D ko'rinishdagi yozuvlar (bunda, A, B, C, D — sonli ifodalar) mulohaza (jumla) bo'lgani uchun biz ular ustida konyunksiya, dizyunksiya, implikatsiya va boshqa mantiqiy amallarni bajarishimiz mumkin. Masalan, A < В tengsizlik A < В tengsizlik va A - В tenglikning dizyunksiyasidir:
A < В = (A < B) U (A = B)
A < В tengsizlik A < В, А = В mulohazalardan aqalli bittasi rost bo'lsa ham rost bo'ladi. Masalan, (2 • 4 + 15) • 2 < 35 + 19 tengsizlik rost, chunki (2 - 4 + 15) • 2 ifodaning qiymati 46 ga teng, 35+19 ning qiymati esa 54 ga teng, 46 < 54 tengsizlik rost.
Boshlang‘ich sinflar matematika predmetining o‘quv dasturi o‘z oldiga o‘quvchilarni sonlar va matematik ifodalarni taqqoslash, uning natijalarini ― < ― , ― > ― , ― = ― belgilar yordamida yozish va hosil bo‘lgan tengliklar va tengsizliklarni o‘qishga o‘rgatishni vazifa qilib qo‘yadi. Tengliklar, tengsizliklar va tenglamalar haqidagi tushunchalar o‘zaro bog‘lanishda olib boriladi. Ular ustidagi ish 1 - sinfdan boshlab, arifmetik materialni o‘rganish bilan uzviy holda olib boriladi. 3 - sinfda sonli tenglik va tengsizlik haqida boshlang‘ich tasavvurlar shakllantiriladi.
Boshlang'ich matematika darsligi o‘z oldiga bolalarni sonlar bilan matematik ifodalarni taqqoslash, natijalarini ">", "<", "=" belgilari yordamida yozish va hosil bo'lgan tenglik va tengsizliklarni o'qishga o'rgatishni vazifa qilib qo'yadi.
Ikkita teng son yoki ikkita ifodaning qiymatlari teng bo'lsa, ular orasiga teng belgi qo'yiladi. Shuningdek, ikki son teng bo'lmasa, yoki ikki ifoda va ularning qiymatlari teng bo'lmasa, bular orasiga tengsizlik belgisi qo'yiladi. Shuning uchun eng avvalo o'quvchilarga ishonchli tenglik va tengsizliklar haqida tushuncha berish kerak.
Tenglik va tengsizlik tushunchalarini hosil qilishning boshlang‘ich bosqichi narsalar to'plamlarini ularning miqdorlari bo‘yicha taqqoslash va katta (ortiq), kichik (kam), shuncha (teng) munosabatlarini o'rganishdan iborat "Katta", "kichik", "teng" munosabatlarining mazmunini o'quvchilar ongiga yetkazishning eng yaxshi usuli sonlarni taqqoslashga doir turli mashqlarni bajarishdan iborat.
Misol: 47 > 13 deganda, 4 ta o'nlik 1 ta o'nlikdan katta degan mazmunda tushuntiriladi.
"Katta", "kichik", "teng" munosabatlarining mazmunini tushuntirishdagi muhim qadam taqqoslanayotgan narsalar soni ikkinchisiga nisbatan nechta ortiqligini, kamligini aniqlashga o‘rgatish va shu asosida narsalar sonini ikki usul bilan tenglashtirishga doir mashqlarni bajarishdan iborat. O'qitishning boshidanoq aniq misollarda tenglik va tengsizlik munosabatlari orasidagi bog'lanishni arifmetik amallar orqali ochib berish muhimdir: kvadratlar va uchburchaklar soni teng bo'lsa u holda uchburchaklar ortiq bo'lishi uchun yoki bir nechta uchburchak qo'shish kerak; agar doirachalar kvadratlardan ko'p bo‘lsa u holda doirachalarni olish, yoki yetishmayotgan kvadratlarni qo‘shish kerak.
Keyinchalik sonlarni taqqoslashda o'quvchilar bu sonlarning natural qatoridagi o'rinlarini bilishlariga asoslanishi mumkin: "olti soni yettidan kichik, chunki olti sanoqda yettidan oldin aytiladi" yoki "yetti oltidan katta, chunki yetti sanoqda oltidan keyin aytiladi". 100 ichida sonlarni nomerlashni o'rganishda sonlarni taqqoslash yoki ularning natural qatoridagi o'rinlari asosida, yoki sonlarning tarkibini bilish asosida va tegishli xona sonlarini yuqori xonasidan boshlab taqqoslash asosida amalga oshiriladi.
Masalan, 87 > 65, chunki 8 o'nlik 5 o'nlikdan katta ; 27 > 21, o'nliklari teng lekin, birinchi sonnnig birligi ikkinchi son birligidan katta.
Sonlani taqqoslash bilan birga o'quvchilarni uzunlik o'lchovlarida ifodalangan ismli sonlarni taqqoslashga ham o'rgatish kerak bo'ladi. Ismli sonlarni taqqoslshda oldin kesmalarni taqqoslashga o'rgatiladi. O'quvchilar, masalan, 1 dm va 6 sm sonlarini taqqoslash uchun, oldin tegishli kesmalarni chizishadi va bu kesmalarni taqqoslab, qaysi son katta, qaysi son kichik ekanligi haqida xulosa chiqarishadi (1dm > 6sm). O'qitishning ikkinchi yili boshida "tenglik", "tengsizlik" terminlarining o'zi kiritiladi. Buni o'qituvchi quyidagidek tushuntiradi: agar sonlar orasida yoki ifodalar orasida "tenglik" belgisi tursa, bu tenglik, agar "katta" yoki "kichik" belgi turgan bo'lsa, bu tengsizlik bo'ladi. Keyinchalik mashqlar murakkablashadi va ulardan munosabatlar, bog'lanishlar, arifmetik amallar xossalari haqidagi bilimlarni mustahkamlash va qo'llash, hisoblash ko'nikmalarini tarkib toptirish maqsadlarida foydalaniladi. Tenglik va tengsizliklar haqidagi boshlang‘ich tasavvurlarni bolalar tayyorgarlik davridayoq oladilar.
Birinchi o‘nlik sonlarini nomerlashda > , < , = belgilari kiritiladi. O‘qituvchi bolalarga bunday o‘rgatadi : ― > ― belgisining uchi doimo kam sondagi narsalar tomonga qarab turadi ―. Narsalarni sanashni o‘rganilayotgan bir vaqtda sonlarni taqqoslash ishi ham bajariladi ( Beshta doiracha to‘rtta uchburchakdan ko‘p, demak, 5 > 4 ). Natural sonlar qatorining hosil bo‘lishini o‘rganish vaqtida ham bunday qonuniyat ahiqlanadi : natural qatorda son qancha uzoqda tursa, u shuncha katta bo‘ladi. Keyinchalik sonlarni taqqoslashda bolalar shu xossaga tayanadilar. 5 < 7, chunki sanoqda 5 soni 7 sonidan oldin aytiladi, 9 > 8, chunki sanoqda 9 soni 8 sonidan keyin aytiladi.
Munosabatlarni ― > ― , ― < ― , ― = ― belgilari yordamida yozib, bolalar tengliklar va tengsizliklarni o‘qish va yozishni mashq qiladilar.
Bunday qo‘shimcha savollarni berish foydalidir: 6 < 7 .

1. 
   6 < 7 tengsizlikning chap tomonini, o‘ng tomonini aytib ber.
   
2. 
   6 < 7 yozvni o‘ngdan chapga, chapdan o‘ngga o‘qi.
   
3. 
   Noto‘g‘ri yozuvlarni o‘chir. Ular nima uchun noto‘g‘ri ?
   

9 > 7, 4 > 3, 8 < 9, 7 < 5, 5 > 3,

4. 
   7 > 5 da to‘g‘ri yozuv hosil bo‘lishi uchun 7 ning o‘rniga qanday sonlatni yozish mumkin ?
   
5. 
   T o‘g‘ri yozuv hosil bo‘lishi uchun □ < 7 darchaga qanday sonlatni yozish mumkin ?
   

O‘quvchilarga katta kesmaga katta son, teng kesmalara teng sonlar mos kelishi haqida yaqqol tasavvur hosil bo‘lgunicha ismli sonlarni taqqoslash kesmalarni taqqoslashga asoslanib olib boriladi. Shundan keyin ismli sonlarni taqqoslashga o‘tish mumkin, buning uchun beilgan ismli sonlar bir xil o‘lchov birliklarida ifodalanadi. Masalan :
1 dm 3 sm * 15 sm 2 dm * 1 dm 7 sm
13 sm < 15 sm 20 sm > 17 sm
Keltirilgan almashirishlar yozma ravishda ham, og’zaki ravishda ham ajarilishi mumkin.
M i q d o r l a r n i t a q q o s l a s h avval narsalarning o‘zlarini berilgan xossasi bo‘yicha taqqoslashga tayanib bajariladi, keyin esa miqdorlarning son qiymatlarini taqqoslash asosida amalga osiriladi, buning uchun berilgan miqdorlar bir xil o‘lchovlarda ifodalab olinadi. Miqdorlarni taqqoslash o‘quvchilarda qiyinchilik tug‘diradi, shuning uchun 2 – 4 sinflarda rang barang masqlarni muntazam taklif qilish kerak :

1. 
   Tengliklar to‘g‘rimi yoki noto‘g‘rimi, tekshirib ko‘r :
   

2 m 5 sm = 25 sm, 1 t 800 kg = 4800 kg, 100 min = 1 soat.

2. 
   Teng miqdorni tanlab qo‘y :
   

7 km 500 m = …… m , 3080 kg = …t … kg .

3. 
   Son qiymatlarni shunday tanlab qo‘yki, yozuv to‘g‘ri bo‘lsin :
   

□ soat < □ min, □ sm = □ dm, □ kg □ g > □ kg .

4. 
   Miqdorlarning ismlarini yozuv to‘g‘ri bo‘ladigan qilib qo‘y : 35 km = 35000 … , 16 min > 16 … , 17 t 500 st < 17500 …
   

Bunga o‘xshash masqlar bolalarning teng va thengmas miqdorlar haqidagi tushunchalarning o‘zlarinigina emas, balki o‘lchov birliklari orasidagi munosabatlarni ham o‘zlashtirishlariga yordam beradi.

Sonli ifodalarning tenglik munosabati refleksivlik, simmetriklik va tranizitivlik xossalariga esa, ya'ni bu munosabat ekvivalent munosabatdir. Shuning uchun barcha sonli ifodalar to'plami ekvivalentlik guruhlariga bo'linadi, bu guruhlarga bir xil qiymatga ega bo'lgan ifodalar kiradi. Masalan, bitta ekvivalentlik guruhiga 5 + 1, 9 - 3, 2 • 3, 12 : 2 va boshqa ifodalar (ulardan har birining qiymati 6 ga teng) kiradi.