Oʻzgaruvchan chegaralari boʻlgan aniq integrallar oʻzgaruvchilarga bogʻliq boʻlgan chegarali integrallardir. Ushbu integrallar “baholangan integrallar” deb ham ataladi, chunki ular integralning aniq sonli qiymatini topish uchun ishlatiladi.
Oʻzgaruvchan chegaralari boʻlgan aniq integralni baholash uchun avvalo integratsiyaning anti hosilasini topish kerak. Antiderivativga ega bo’lgach, o’zgaruvchilar bilan ifodalangan integratsiyaning yuqori va pastki chegaralarini kiritish orqali aniq integralni baholashingiz mumkin.
Masalan, siz f(x) = 2x ning x=0 dan x=t gacha boʻlgan aniq integralini baholamoqchi boʻlsangiz, bu yerda t oʻzgaruvchidir. F(x) ning antiderivativi F(x) = x^2 + C, bu yerda C integrasiya doimiysi. Aniq integralni baholash uchun biz integratsiyaning yuqori va pastki chegaralarini kiritamiz:
F(t) – F(0) = (t^2 + C) – (0^2 + C) = t^2
Shuning uchun f(x) ning x=0 dan x=t gacha bo‘lgan aniq integralining qiymati t^2 ga teng.
Yodda tutingki, oʻzgaruvchan chegaralari boʻlgan aniq integralni baholaganingizda, natija odatda integratsiya chegaralarini belgilovchi oʻzgaruvchida ifodalanadi.
1. ∫ 2x dx = x^2 + C
2. ∫ 3x^2 dx = x^3 + C
3. ∫ 1/x dx = ln|x| + C
4. ∫ e^x dx = e^x + C
5. ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
6. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
7. ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C
8. ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan(x) + C
9. ∫ e^(2x) dx = (1/2)e^(2x) + C
10. ∫ ln(x) dx = xln(x) – x + C
Aniq integralning bazi tadbiqlari :bir jinsli boʻlmagan sterjinning massasi va ogʻirlik markazi
Bir jinsli boʻlmagan sterejning massasi va ogʻirlik markazi quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
- Sterejning massasi: ∫ρ dV, bu yerda ρ – yoʻgʻonlik massasi, dV – infinitesimal hajmi.
- Ogʻirlik markazi: x = (1/M) ∫xρ dV, y = (1/M) ∫yρ dV, z = (1/M) ∫zρ dV, bu yerda x, y, z – koordinatlar, M – sterejning massasi.
