Matematik induksiya prinsipi
Yüklə 87,5 Kb.
|
|
Matematik induksiya prinsipi Agar berilgan natural n ga soniga bog`liq bo`lgan А(n) tasdiq, n=1da o`rinli va n=k ( k- ixtiyoriy natural son) o`rinli ekanligidan , keyingi qadam n=k+1 uchun o`rinli bo`lishi isbotlansa , u holda А(n) tasdiq ixtyoriy natural n uchun o`rinli deb qaraladi. Ba`zi hollarda p- fiksirlangan natural son o`rinli bo`lgan tasdiqni n>p hollarda isbotlash talab etiladi . Bunday hollarda matematik induksiya quyidagicha ta`kidlash mumkin Agar A(n) tasdiq n=p uchun o`rinli bo`lib , agar ixtiyoriy k>p uchun А(k)А(k+1) bajarilsa , u holda А(n) tasdiq ixtiyoriy natural n>p uchun o`rinli bo`ladi. Matematik induksiya usulidan foydalainib isbotlash quyidagicha bo`ladi: n=1 hol uchun A(1) tasdiqning to`g`riligi tekshirib ko`riladi. Bu matematik iduksiyaning bazasi deyiladi . n=k da o`rinli deb qarab , n=k+1da o`rinli bo`lishi isbotlanadi, yani А(k)A(k+1) bo`lishi isbotlanadi . Bu induksion qadam deyiladi. 1– misol Ixtiyoriy natural n uchun isbotlang 1+3+5+…+(2n-1)=n2. Yechish : 1) Formula n=1 da o`rinli bo`lishini tekshiramiz n=1=12 . A(1) =12 o`rinli ekan 2) А(k)A(k+1) kelib chiqishini isbotlaymiz. Qandaydir n=k da ( k –ixtiyoriy natural son) formula o`rinli bo`lsin. 1+3+5+…+(2k-1)=k2. n=k+1 keyingi natural k+1 sonda ham 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 o`rinli bo`lishini isbotlaymiz Haqiqatan 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= [ 1+3+5+…+(2k-1)] +2k+1= k2+2k+1=(k+1)2 Demak, А(k)А(k+1) isbotlandi. Matematik induksiyaga asosan , 1+3+5+…+(2n-1)=n2 formula ixtiyoriy n natural son uchun o`rinli 2 – Misol Quyidagi tenglikni isbotlang : , bu yerda Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz 2) Qaysidir natural k –uchun n=k da tenglik o`rinli deb , n=k+1 uchun bo`lishini isbotlaymiz Haqiqatan Demak, А(k)A(k+1) o`rinli. Matematik induksiya prinsipiga asosan , bu yerda ixtiyoriy n da o`rinli 3- Misol Qavariq n- burchakning diagonallari soni dn=n(n-3)/2 ga teng bo`lishini isbotlang Yechish : 1) n=3 da formula o`rinli ekanligini tekshiramiz d3=0(3-3)/2=0 , haqiqatan uchburchakda diagonallar yo`q soni nolga teng 2) Aytaylik , qandaydir qavariq k- burchak uchun dk =k(k-3)/2 diagonali bo`lsin qavariq (k+1) burchak uchun diagonallar soni dk+1=(k+1)(k-2)/2 ga teng bo`lishini isbotlaymiz. A1A2A3…AkAk+1 qavariq (k+1) burchak bo`lsin. Unda A1Ak diagonalni o`tkazamiz. (k+1) burchakdagi diagonallar sonini sanash uchun k burchakdagi diagonallar soniga k-2 ta Ak+1 uchdan chiquvchi diagonallar sonini va 1 ta A1Ak diagonalni qo`shish yetarli . Demak dk+1=dk +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2. Shunday qilib, А(k)A(k+1) o`rinli ekan. Matematik induksiyaga ko`ra qavariq n- burchakning diagonallari soni dn=n(n-3)/2 ga teng 4 – misol Ixtiyoriy n natural son uchun 12+22+32 +…+n2 =n(n+1)(2n +1)/6. tenglik o`rinli bo`lishini isbotlang Yechish : 1) n=1 da, x1=12=1(1+1)(2+1)/6=1. demak n=1da formula o`rinli 2) n=k da formula o`rinli bo`lsin xk =k2=k(k+1)(2k+1)/6. 3) n=k+1 da o`rinli bo`lishini isbotlaymiz xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6. xk+1=12+22+32 +…+k2+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1)2=(k(k+1)(2k +1)+6(k+1)2 )/6=(k+1)(k(2k +1)+ +6(k+1))/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k++2))/6= =(k+1)(k+2)(2k+3)/6. n=k+1 uchun biz formula o`rinli ekanligini isbotladik, matematik induksiyaga ko`ra formula ixtiyoriy n uchun o`rinli bo`ladi. 5 – misol Ixtiyoriy natural n da 7n-1 ni 6 ga qoldiqsiz bo`linishini isbotlang Yechish : 1) n=1 bo`lsin , x1 =71-1=6 bu 6 ga qoldiqsiz bo`linadi. n=1 da tasdiq o`rinli . 2) Aytaylik n=k da xk=7k-1 had 6 ga qoldiqsiz bo`linsin 3) n=k+1da tasdiq o`rinli bo`lishini isbotlaymiz . xk+1=7k+1-1=77k-7+6=7(7k-1)+6 1 –qo`shiluvchidagi qavs ichidagi ifoda xk=7k-1 6ga qoldiqsiz bo`linadi, ikiinchi qo`shiluvhci 6 demak u ham 6 ga bo`linadi. Matematik induksiyaga ko`ra 7n-1 son ixtiyoriy natural n da 6 karrali bo`ladi. 6 –misol
(11n+2 +122n+1 ) ni 133 ga qoldiqsiz bo`linishini isbotlang
Yechish:
1) n=1 bo`lsin, u holda
2) aytaklik , n=k da (11k+2 +12 2k+1 ) soni 133 ga qoldiqsiz bo`linsin 3) n=k+1 da (11k+3 +122k+3 ) ham 133 ga qoldiqsiz bo`linishini isbotlaymiz . Haqiqatan 11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1=1111k+2+(11+133)122k+1= =11(11k+2+122k+1)+133122k+1. (11k+2+122k+1) soni 133 ga qoldiqsiz bo`lingani uchun hosil bo`lgan yig`indi ham 133 ga qoldiqsiz bo`linadi. Demak, А(k)А(k+1) o`rinli . Matematik induksiya yo`li bilan tasdiq isbotlandi. 7 -misol 33n-1+24n-3 yig`indini 11 ga qoldiqsiz bo`linishini isbotlang Yechish : 1) n=1da , x1=33-1+24-3=32+21=11 tasdiq o`rinli 2) faraz qilamiz n=k da xk=33k-1+24k-3 11 ga qoldiqsiz bo`linsin 3) n=k+1 da tasdiqni to`gri ekanligini isbotlaymiz. xk+1=33(k+1)-1+24(k+1)-3=33k+2+24k+1=3333k-1+2424k-3= =2733k-1+1624k-3=(16+11)33k-1+1624k-3=1633k-1+ +1133k-1+1624k-3=16(33k-1+24k-3)+1133k-1. (33k-1+24k-3) ko`paytuvchi farazga ko`ra 11 ga qoldiqsiz bo`linadi, ikkinchi qo`shiluvchi 1133k-1 ham 11ga qoldiqsiz bo`linadi . qo`shilivchilar har biri 11 ga qoldiqsiz bo`lingani uchun ularning yi`g`indisi ham 11 ga qoldiqsiz bo`linadi. Matematik indiksiyaga ko`ra tasdiq isbotlandi. 8- misol Agar va bo`lsa, quyidagi tensizlikni isbotlang (1+х)n>1+nх. Yechish : 1) n=2 da , (1+х)2=1+2х+х2>1+2х tasdiq o`rinli 2) agar bo`lsa, А(k)A(k+1) kelib chiqishini isbotlaymiz. (1+х)k>1+kx (*) A(k) da tasdiq o`rinli bo`lsin 3) А(k+1) da ham o`rinli bo`lishini isbotlash kerak Haqiqatan (*) tengsizlikni ikkala tomonini 1+x musbat songa ko`paytirsak (1+x)k+1>(1+kx)(1+x) ga ega bo`lamiz. Ushbu tengsizlikni o`ng tomoniga e`tibor bersak (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. natijada (1+х)k+1>1+(k+1)x. Demak , А(k)A(k+1) isbotlandi. Matematik induksiyaga asosan Bernulli tengsizligi ixtiyoriy natural da o`rinli ekan 9- misol Natural n>6 da 3n > n2n+1 bo`lishini isbotlang Yechish : Tengsizlikni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz (3/2)n>2n. 1) n=7 da 37/27=2187/128>14=27 tengsizlik o`rinli 2) Faraz qilamiz n=k da (3/2)k>2k 3) n=k+1 da tengsizlik o`rinli bo`lishini isbotlaymiz 3k+1/2k+1=(3k/2k)(3/2)>2k(3/2)=3k>2(k+1). bo`lgani uchun , oxirgi tengsizlik o`rinli . matematik induksiyaga ko`ra ,tengsizlik ixtiyoriy n>6 da to`g`rib o`lishi isbotlandi . Xulosa
Matematik induksiya usulini o`rganib , men oldin yechishga qiynalayotgan matematikaning sonlarni qoldiqsiz bo`linishiga oid misollarni yechishni , murakkab tengliklar yoki tengsizliklarni isbotlashni o`rgandim. Matematik induksiya usuli bu qadam – baqadam mantiqiy fikrlarni yoki tasdiqlarni isbotlash usuli bo`lgani uchun menda bu fan bo`lgan qiziqishimni yanada orttirdi. Oldin murakkab va hal qilib bo`lmaydigandek ko`ringan bunday misol va masalalar yechish asta – sekin bir zaylda shug`ullanadigan va qiziqtirivchi mashg`ulotlarga aylanib boradi. Menimcha bu hohlagan fanning o`zlashtirilishini asosini tashkil etadi. Yüklə 87,5 Kb. Dostları ilə paylaş:
|