Математik маnтiq аsoslari ikki o‘zgaruvchili Bul funksiyalari quyidagicha rostlik jadvali bilan beriladi

0	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1
0
1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	0	1

1.6. Mantiq qonunlari
Ixtiyoriy α, β, γ mantiqiy formulalar uchun quyidagi tengliklar rost:

1. 
   Ikkilangan rad etish qonuni.
   

¬ ¬ α≡α

2. 
   & va \/ amallarining idempotentligi
   

α&α≡α, α\/α≡α

3. 
   & va \/ amallarining kommutativligi
   

α&β≡β&α, α\/β= β\/α

4. 
   & va \/ amallarining assosiativligi
   

α&(β&γ)≡(α&β)&γ, α\/(β\/γ)=(α\/ β)\/γ) 

5. 
   & va \/ amallarining bir-biriga nisbatan distributivlik qonunlari.
   

α&(β\/γ)≡(α&β)\/(α&γ) , α\/(β&γ)≡(α\/β)&(α\/γ)

6. 
   Yutilish qonunlari
   

α&(α\/β)≡α, α\/(α&β)≡α.

7. 
   De Morgan qonunlari
   

¬ (α&β)≡ ⌐ α\/ ⌐β, ¬ (α\/β)≡ ⌐ α & ⌐β.

8. 
   α\/ ⌐ α≡1
   
9. 
   Qarama-qarshilik qonunlari:
   

α & ⌐ α≡1
10. Tavtologiya va qarama-qarshilik qonunlari.
α&1≡α, α&0≡0
α\/1≡1, α\/0≡α
⌐ 1≡0, ⌐ 0≡1

11. 
    Kontrpozitsiya qonuni
    

α→β≡ ⌐ β → ⌐ α.

11. 
    Implikatsiyadan qutilish qonuni
    

α→β≡ ⌐α\/β.

11. 
    Ekvivalentlikdan qutilish qoidasi
    

α~β≡(α→β)&(β→α)≡ α&β \/ ⌐α&⌐β.
14. α→α≡1, 0→α≡1, 1→α≡α, α→1≡1, α→0≡ ⌐ α.

Mantiq qonunlari yordamida F(x,y,z) funksiyani soddalashtiring.

3.30 misolning yechilishi
F(x,y,z)=((xy)z→((xz)y))((xy)z)=
1) (xy)&z=x&zy&z
2) (xz)y=(x&zx&z)y=(x&zx&z)&y(x&zx&z)&y=
=(xz)&(xz)&yx&y&zx&y&z=x&x&yx&y&zx&y&zx&y&zx&y&z=x&y&zx&y&zx&y&zx&y&z

3. 
   (xy)z=(xyxy)&z=xy&zxy&z
   
4. 
   (x&y&zx&y&zx&y&zx&y&z)&(xy&zxy&z)=
   

=0
5) F(x,y,z)=(x&zy&z)→0=(x&zy&z)=x&yz

3.1	F(x,y,z)=(xyz)&(x&y z)
3.2	F(x,y,z)=(x&yz)&(x&z→y)
3.3	F(x,y,z)=(xy) (x&z(y→z))
3.4	F(x,y,z)=(xy&z)((xy)z)
3.5	F(x,y,z)=(x→(y→z))(x(yz))
3.6	F(x,y,z)= (xyz)(x→yz)
3.7	F(x,y,z)=(xyz)(xyz)((xy)z)
3.8	F(x,y,z)=((x→y)(xz))(yz)
3.9	F(x,y,z)=((xy)(xy))→(z→y)
3.10	F(x,y,z)=(x→y)(((x→z)y)z)
3.11	F(x,y,z)= ((xy)→((xy)y))z
3.12	F(x,y,z)= ((xy)→(xz→y))→xz
3.13	F(x,y,z)=((xy)z)x)y
3.14	F(x,y,z)=((x→y)(x→yz))(xy)
3.15	F(x,y,z)=(x→y)((y→z)→xy)
3.16	F(x,y,z)=(xy)(x→(y→z))
3.17	F(x,y,z)=x→((y→z)→yz)
3.18	F(x,y,z)=(x(y→z))(xy)
3.19	F(x,y,z)=(xy)(xz))(xyz)
3.20	F(x,y,z)=(xy)((yz)→(xxz))
3.21	F(x,y,z)=(xy)((yz)→(xz))
3.22	F(x,y,z)=x((yz)(x→z))
3.23	F(x,y,z)=(((xy)z)y)&(y→z)
3.24	F(x,y,z)=((xy)(yz))(x(y→z))
3.25	F(x,y,z)=(xy→z)((xy)z)
3.26	F(x,y,z)=(xy)(xxyyz(xyz))
3.27	F(x,y,z)=(xyz)(xyx(yz)y&z)x
3.28	F((x,y,z)=((xy)→(xy))&((x→y)→(xy))
3.29	F(x,y,z)=((xy)(xz))(xyz)
3.30	F(x,y,z)=((xy)z→((xz)y))((xy)z)

2.1. Ikkilik mantiqiy elementlar
Texnikadan uzoq odamlar EVM ga, mikrokalkulyatorga va boshqa raqamli elektron qurilmalarga qandaydir sehrli bir narsa bo‘lsa kerak deb qarashadi. Haqiqatda esa ushbu qurilmalar aniq mantiqiy qonunlar asosida ishlashadi. Har qanday raqamli sxemalarning asosiy tarkibiy qismini mantiqiy elementlar tashkil etadi. Mantiqiy elementlar ikkilik sonlar bilan ish yuritadi va shuning uchun ham ikkilik mantiqiy elementlar deyiladi.
Raqamli elektrotexnika sohasida ishlayotgan mutaxassislar ikkilik mantiqiy elementlar bilan har kuni duch kelishadi. Mantiqiy elementlarni oddiy o‘chirib-yoqgichlarda, releda, vakuum lampa, tranzistorlar, diodlar yoki integral sxemalarda yig‘ish mumkin. Integral sxemalarning keng qo‘llanilishi va arzonligi uchun raqamli qurilmalarni faqat integral sxemalarning o‘zidan yig‘ish mumkin.

1. 
   “Va” mantiqiy elementi
   

“Va” mantiqiy elementini ayrim hollarda “hammasi yoki hech narsa” elementham deyishadi. Mexanik o‘chirib-yoqgichlar orqali “Va” mantiqiy elementini ishlash printsipini ko‘rsatish mumkin. Kalitlar ketma-ket ulangan bo‘lsin:
L ₁ lampani yoqish uchun nima qilish kerak?
B uning uchun ikkala kalitni ham yopish kerak, boshqacha qilib aytganda L₁ lampa yonishi uchun A kalit va B kalitni ham yopish kerak. “Va” mantiqiy elementini integral sxemalar korpusida bo‘lgan va tranzistorlarda ko‘p yig‘ilgan. “Va” mantiqiy elementini sxemada ko‘rsatish uchun quyidagi belgilashdan foydalaniladi.
Ushbu standart belgilash reledami, o‘chirib-yoqgichdami, pnevmatik qurilmadami, alohida diod va tranzistorlardami yoki integral sxemalarida yig‘ilishidan qat’iy nazar bir xildir. “Mantiqiy” termini odatda biror bir qarorni qabul qilish jarayonida ishlatiladi. Shuning uchun ham mantiqiy elementni shunday sxema deyish mumkinki unda kirish signallariga asoslanib chiqishda “Ha” yoki “Yo‘q” deyish hal qilinadi. Yuqorida ko‘rganimizdek lampa yonishi uchun uning ikkala kirish joyida “Ha” signali (kalitlar yopilishi kerak) berilishi kerak.
Real sxemani ko‘rib chiqamiz. “Va” mantiqiy elementi A va B kirish kalitlariga ulangan. Chiqish indikatori bo‘lib chiroq xizmat qilsin. Agar A va B kirish joylarida “Past” mantiqiy darajali signal (er) paydo bo‘lsa, u holda chiroq yonmaydi. Ushbu holatni quyidagi jadvalda keltirish mumkin.

Kirish				Chiqish
A		B		Y
Kuchlanish darajasi	Ikkilik signal	Kuchlanish darajasi	Ikkilik signal		Nurlanish	Ikkilik signal
past (er)	0	past (er)	0		yo‘q	0
past (er)	0	yuqori	1		yo‘q	0
yuqori	1	past (er)	0		yo‘q	0
yuqori	1	yuqori	1		ha	1

Shunday qilib rostlik jadvali “Va” mantiqiy elementining ishlashi haqida to‘liq ma’lumot beradi, ya’ni “Va” mantiqiy funktsiyani tasvirlaydi. “Va” mantiqiy elementi uchun kiritilgan belgilash “A va B kirish signallari “Va” mantiqiy funktsiyasi bilan bog‘langan bo‘lib, chiqishda Y signal paydo bo‘ladi” deb o‘qiladi. Ushbu tasdiqning qisqartirilgan ifodasi BUL IFODASI (A&B) deyiladi. BUL ifodasi – universal til bo‘lib, injenerlar va texnik xodimlar tomonidan raqamli texnikada keng qo‘llaniladi.

2 . “Yoki” mantiqiy elementi
“Yoki” mantiqiy elementi ayrim hollarda “hech bo‘lmasa birortasi yoki hammasi” deb ham yuritiladi. Oddiy o‘chirib-yoqgichlar yordamida “yoki” mantiqiy elementini ishlash printsipini quyidagicha tasvirlash mumkin.
Chizmadan tushunarliki hech bo‘lmasa bitta kalit yoki ikkalasi ham yopiq bo‘lsagina L₁ lampa yonadi. “Yoki” mantiqiy elementi uchun rostlik jadvali quyidagicha bo‘ladi:

Kirish				Chiqish
A		B		Y
O‘chirib-yoqgich	Ikkilik signal	O‘chirib-yoqgich	Ikkilik signal		Nurlanish	Ikkilik signal
ochiq	0	ochiq	0		yo‘q	0
ochiq	0	yopiq	1		ha	1
yopiq	1	ochiq	0		ha	1
yopiq	1	yopiq	1		ha	1

“Yoki” mantiqiy elementi quyidagicha belgilanadi:
Rostlik jadvaliga ko‘ra mos raviishda Bul ifodasi ( yoki A+B=Y ) ko‘rinishda bo‘1adi.
3. Invertor

Kirish		Chiqish
A		Y
Kuchlanish darajasi	Ikkilik signal	Kuchlanish darajasi	Ikkilik signal
past (er)	0	yuqori	1
yuqori	1	past (er)	0

Shu vaqtgacha ko‘rilgan mantiqiy elementlar hech bo‘lmasa ikkita kirish va bitta chiqishga ega edi. INVERTOR deb yuritiladigan “yo‘q” sxemasida esa bitta kirish va bitta chiqish mavjud. Invertorning asosiy vazifasi chiqishda kirish signaliga teskari bo‘lgan signalni ta’minlashdan iborat. Invertor quyidagicha belgilanadi:

Rostlik jadvaliga ko‘ra Bul ifodasi _A ko‘rinishda bo‘1adi.