Matematik modellashtirish, sonli tahlil usullarini amalga oshirish. Hisobli eksperiment

Matematik modellarni o‘rganishning analitik usullari. Sifatli tadqiqot masalani o`lchamli tahlil etishdan boshlanadi. Masalani o`lchovsiz ko`rinishga keltirish uning aniqlovchi o`zgaruvchilari sonini qisqartirishga imkon beradi. Kichik yoki katta o`lchovsiz parametrlarni ajratish bir qator holatlarda joriy matematik modellarni sezilarli darajada soddalashtirishga, uni yechishning sonli usullarini ishlab chiqarishda masalaning xususiyatlarini hisobga olish imkonini yaratadi.
Matematik modelning o`zi ancha murakkab, chiziqli bo`lmasligi mumkin. Buning natijasida uni amaliy matematikaning an‘anaviy usullari yordamida sifatli o`rganib bo`lmaydi. Aynan shuning uchun ko`p hollarda anchagina sodda, lekin joriy matematik modelga nisbatan mazmunliroq masalada sifatli tadqiqot o`tkaziladi. Bunday hollarda asosiy modelning soddalashtirilgan masalalari (model uchun model) to`g`risida so`z yuritish lozim.
Matematik modellarni sifatli o`rganishda korrektlilik muammolariga katta e‘tibor qaratiladi. Avvalo, yechimning mavjudlilik masalasi ko`riladi. Unga mos bo`lgan qat‘iy natijalar (mavjudlilik teoremasi) matematik modelning korrektliligiga kafolat beradi. Bundan tashqari, mavjudlilik teoremalarining konstruktivlik isbotlari qo`yilgan masalani taqribiy yechish usullariga asos qilib olinishi mumkin.
Amaliy matematik modellashtirishda kiruvchi ma‘lumotlarning nisbatan kichik chetlanishlarida yechimning turg`unlik masalasi muhim ahamiyat kasb etadi. Turg`unmaslik (kichik chetlanishlarda yechimning cheksiz ortib ketishi) teskari masalalar uchun xarakterli bo`lib, taqribiy yechimni olishda hisobga olinishi kerak.
Yechimning ko`pligi, yagona emasligi chiziqli bo`lmagan matematik modellar uchun xos bo`lishi mumkin. Matematik modellarni sifatli o`rganishda tarmoqlanish nuqtalari, yechimlarning bifurkatsiyasi, zaruriy yechimning ajratib ko`rsatilish masalalari o`rganiladi.
Matematik modellarning har xil turlari uchun sifatli o`rganish usullari bir xil to`liqlikda ishlab chiqilmagan. Sifatli usullar eng katta natijalarni keltirgan modellar ichida sodda differensial tenglamalarni qayd etib o`tamiz. Xususiy hosilali tenglamalar nazariyasida sifatli usullar qo`llaniladi, lekin unchalik katta darajada emas. Misol sifatida xususiy hosilali tenglamalarga asoslangan matematik modellarni sifatli o`rganishga imkon beruvchi ikkinchi tartibli parabolik hamda elleptik tenglamalarning maksimum tamoyilini qayd etib o`tish mumkin.
Aniq yoki taqribiy yechim analitik hamda sonli usullar bilan topiladi. Bunga aloqador ravishda analitik usullarning klassik misollari orasida o`zgaruvchilarni bo`lish, matematik fizikaning chiziqli masalalarini integral almashtirish usullarini ajratib ko`rsatamiz.
Chiziqli bo`lmagan matematik modellar uchun chiziqlashtirish usullari, chetlanish usullarining har xil variantlari muhim ahamiyat kasb etadi. Chetlashishlar nazariyasi ajratilgan kichik parametr bo`yicha asimptotik yoyishlarga asoslanadi. Bu usullarga, ularning cheklanganligiga qaramay, singulyar chetlashish masalalarini ko`rib chiqishga alohida e‘tibor qaratiladi.
Chiziqli bo`lmagan yechimning sifatli xatti - harakati ma‘lum bir xususiy yechimlar bilan almashtirilishi mumkin. Chiziqli bo`lmagan masalalarning xususiy yechimlarini qidirish avtomodelli o`zgaruvchilardan foydalanishga, matematik model zamirida yotgan tenglamalarni guruhli tahlil etish natijalariga asoslanadi.
Murakkab, ko`p parametrli modellar kompyuterda sonli usullar bilan o`rganilishi mumkin. Analitik yechimdan farqli o`laroq (u yechimning masalaning u yoki bu shartiga parametrli bog`liqligini ko`rsatadi), sonli usulda u yoki bu parametr o`zgargan paytda masalani ko`p marta yechishga to`g`ri keladi. Lekin sonli yechim analitik yechimi bo`lmagan masalalar uchun ham olinishi mumkin.