Matеmatik statistikaning asоsiy masalalari

K. Pirsonning xi–kvadrat muvofiqlik alomati

Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va undan tashqari Kolmogorov alomatini qo‘llash faqat taqsimot funksiya F(x) uzluksiz bo‘lgandagina mimkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko‘p hollarda Pirsonning xi – kvadrat alomati qo‘llaniladi. Bu alomat universal xarakterga ega bo‘lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.
Faraz qilaylik, X – kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma’lum F(x) bo‘lgan X tasodifiy miqdorning qiymatlari to‘plami bo‘lsin. X ni k ta kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:
, ,

Takrorlanishlar vektori deb ataladigan vektorni olaylik. Bu vektorning – koordinatasi kuzatilmalardan tasi oraliqqa tushganligini anglatadi. Ko‘rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori tanlanma ( ) orqali bir qiymatli aniqlanadi va . Asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri, bo‘lgandagi kuzatilmaning oraliqqa tushish ehtimolligini bilan belgilaylik:

_,

Quyidagi statistikani kiritamiz

Va H₀: asosiy gipotezani to‘g‘riligini tekshiramiz.

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota bir ehtimollik bilan nazariy ehtimollik ga intiladi. Demak, agar H₀ gipoteza o‘rinli bo‘lsa, u holda statistikaning qiymati yetarli darajada kichik bo‘lishi kerak.Demak, Pirsonning mezoni statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza H₀ ni rad etadi, ya’ni alomatning kritik sohasi ko‘rinishda bo‘ladi. Asosiy gipoteza H₀to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha murakkab, bu esa o‘z navbatida alomatning kritik chegarasi ni topishda qiyinchilik tug‘diradi. Ammo, n yetarli katta bo‘lsa H₀ gipoteza to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning taqsimotini limit taqsimot bilan almashtirish mumkin.
Teorema(Pirson). Agar 0< <1, bo‘lsa, u holda

.

Bu yerda erkinlik darajasi k-1 bo‘lgan xi – kvadrat taqsimotiga ega bo‘lgan tasodifiy miqdordir:

,
bu yerda, - Gamma funksiya.
Amaliyotda bu teorema natijasidan n≥50, , bo‘lganda foydalanish mumkin. Bu holda kritik nuqta , tenglamadan topiladi.