Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Teorema. Agar funktsiya u= u(x) bir nuqtada bor x 0 hosila va shu nuqtada qiymatni oladi u 0 = u(x 0) va funksiya y = f (u) nuqtaga ega u 0 hosila y"u = f "(u 0), keyin kompleks funksiya y = f (u (x)) belgilangan nuqtada x 0 hosilasi ham bor, ya’ni y"x = f "(u 0)· u "(x 0), qayerda oʻrniga u ifodasi almashtirilishi kerak u= u(x).
Shunday qilib, kompleks funktsiyaning hosilasi oraliq argumentga nisbatan ushbu funktsiya hosilasining mahsulotiga teng. u ga nisbatan oraliq dalilning hosilasiga x.
Isbot... Ruxsat etilgan qiymat bilan X 0 bo'ladi u 0 =u(x 0), da 0 = f (u 0 ). Argumentning yangi qiymati uchun x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).
Chunki u- nuqtada farqlanadi x 0, keyin u- bu nuqtada uzluksiz. Shuning uchun, D uchun x→0 Δ u→ 0. Xuddi shunday D uchun u→0 Δ y→0.
Shart bo'yicha  ... Ushbu munosabatdan chegara ta'rifidan foydalanib, biz olamiz (D uchun u→0)
Bu erda D uchun a → 0 u→ 0, va, demak, D uchun x→0.
Keling, ushbu tenglikni quyidagi shaklda qayta yozamiz:
Δ y=y"siz D u+α·Δ u.
Olingan tenglik D uchun ham amal qiladi u Ixtiyoriy a uchun = 0, chunki u 0 = 0 identifikatsiyasiga aylanadi. D da u= 0 bo'lsa, biz a = 0 ni o'rnatamiz. Olingan tenglikning barcha shartlarini D ga ajratamiz x
.
Shart bo'yicha  ... Shuning uchun, D da chegaraga o'tish x→ 0, biz olamiz y"x = y"u u" x. Teorema isbotlangan.
Demak, murakkab funksiyani farqlash y = f (u (x)),"tashqi" funksiyaning hosilasini olishingiz kerak f, uning argumentini oddiygina o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqing va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan "ichki" funktsiyaning hosilasiga ko'paytiring.
Agar funktsiya y = f (x) sifatida ifodalanishi mumkin y = f (u), u = u (v), v = v (x), u holda y "x hosilasi oldingi teoremani ketma-ket qo'llash orqali topiladi.
Tasdiqlangan qoidaga ko'ra, bizda bor y"x = y"u · u"x. Xuddi shu teoremani qo'llash u"x olinadi, ya'ni.
y"x = y"x · u"v · v"x = f"siz ( u)· u"v ( v)· v"x ( x).