Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi. f(x)funksiyaninghosilasi faqat bu funksiya uzluksiz bo‘lgan nuqtalardagina mavjud bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Oldin ushbu teoremani qaraylik.

Teorema. Agar f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiyashu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Isboti. Faraz qilaylik, f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Demak,

ushbu lim	f ( x + ∆x ) − f ( x )		limit mavjud va f’(x) ga teng. Bizga agar funksiya
	∆x
∆x→0

chekli limitga ega bo‘lsa, uni limit va cheksiz kichik yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkinligi ma’lum ( ). Bizning holimizda limitga ega bo‘lgan funksiya deb funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini olamiz. U holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi:

		f ( x + ∆x ) − f ( x )	=f’(x)+α,
		∆x
bu	erda α=α(∆x) va limα=0. Bundan funksiya orttirmasi			∆y=f(x+∆x)-f(x)ni
	∆x→0
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi:
	∆y=f’(x)⋅∆x+α⋅∆x			(2.1)
	Bu tenglikdan, agar ∆x→0 bo‘lsa, u holda ∆y→0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu
esa	f(x) funksiyaning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.

Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni funksiyaning nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqavermaydi. Masalan, y=|x| funksiya x ning barcha qiymatlarida, xususan x=0 nuqtada uzluksiz, ammo x=0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi ∆y=|∆x|bo‘lib, undan

		lim	∆y	= 1,	lim	∆y	= −1,
			∆x			∆x
	∆y	∆x→+0			∆x→−0
va		nisbatning ∆x→0 dagi limiti mavjud emasligi kelib chiqadi, demak f(x)=|x|
	∆x

funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.
3. Bir tomonli hosilalar.
Ta’rif. Agar∆x→+0 (∆x→-0) da^∆_∆^y_xnisbatning limiti

lim

∆y

= lim

f ( x

0

+ ∆x ) − f ( x

0

)

lim

∆y

=

lim

f ( x

0

+ ∆x ) − f ( x

0

)

∆x

∆x

∆x

∆x

∆x→+0

∆x→+0

∆x→−0

∆x→−0

mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi o‘ng (chap) hosilasi deb ataladi va f’(x₀+0) (f’(x₀-0)) kabi belgilanadi.
Odatda funksiyaning o‘ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi.
Yuqoridagi misoldan, f(x)=|x| funksiyaning x=0 nuqtadagi o‘ng hosilasi 1 ga, chap hosilasi - 1 ga tengligi kelib chiqadi.
Funksiyaning hosilasi ta’rifi va bir tomonli hosila ta’riflardan hamda funksiya limiti mavjudligining zaruriy va yyetarli shartidan quyidagi teoremaning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:

Teorema. Aytaylik f(x) funksiya x₀nuqtaning biror atrofida uzluksiz bo‘lsin.U holda f(x) funksiya x0 nuqtada f’(x0) hosilaga ega bo‘lishi uchun f’(x0+0), f’(x0-0) lar mavjud va f’(x₀+0)=f’(x₀-0) tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yyetarli bo‘ladi.

Bu teoremaning isbotini o‘quvchiga mashq sifatida qoldiramiz.

4. Cheksiz hosilalar. Ba’zi nuqtalarda ^{lim ∆y}limiti +∞(-∞) ga teng

∆x→0∆x

bo‘lishi mumkin. Bunday hollarda shu nuqtalarda funksiya cheksiz hosilaga ega yoki funksiyaning hosilasi cheksizga teng deyiladi.

Ushbu y=³ x funksiya uchun∆y/∆x nisbatning∆x→0 dagi limitiniqaraylik. Funksiyaning 0 nuqtadagi orttirmasini hisoblaymiz: ∆y=∆f(0)=f(0+∆x)-

f(0)=f(0+∆x)=f(∆x)=^3

.

∆x

Funksiya

orttirmasining

argument

orttirmasiga

nisbati

∆f (0)

3

1

=

∆x

=

va bu nisbatning ∆x→0 dagi limiti +∞ ga teng.

∆x

∆x

^3 ( ∆x )^2

Demak, y=³ x funksiya x=0 nuqtada cheksiz hosilaga ega ekan.

Cheksiz hosila uchun ham bir tomonli cheksiz hosila tushunchasini ham qarash mumkin.

Agar	y=f(x) funksiya x=x0nuqtada +∞(-∞) hosilaga ega bo‘lsa, u holda
lim	f ( x0+ ∆x ) − f ( x0 )			=	lim	f ( x0+ ∆x ) − f ( x0 )			=+∞ (-∞)
	∆x		∆x
∆x→−0							∆x→+0

munosabatning o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin. Bu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Berilgan x₀ nuqtada f’(x₀-0)=-∞, f’(x₀+0)=+∞, (f’(x₀-0)=+∞, f’(x₀+0)=-∞) bo‘lishi ham mumkin. Bunday holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada hosilaga (xatto cheksiz hosilaga ham) ega emas deb hisoblanadi.

Misol tariqasida y= ³ x²funksiyaning x=0 nuqtadagi bir tomonli hosilalarinianiqlaylik. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi ∆y(0)= ³ ( ∆x )²ga teng va

∆y(0)

=

1

ekanligini ko‘rish qiyin emas. Shu sababli lim

∆y

=+∞

va

∆x

∆y

^3 ∆x

∆x→+0∆x

lim

=-∞ bo‘ladi. Demak, y’(-0)=-∞, f’(+0)=+∞ bo‘lib,

funksiya

x=0

∆x

∆x→−0

nuqtada cheksiz hosilaga ega emas.

Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari. Urinma va normal tenglamalari

Yuqorida biz, agar y=f(x) funksiya grafigining M₀(x₀;f(x₀)) nuqtasida urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsa, u holda urinmaning burchak koeffitsienti

kurinma= ^lim∆yekanligini ko‘rsatgan edik. Bundan hosilaning geometrik ma’nosi

∆x→0∆x

kelib chiqadi:

y=f(x) funksiya grafigiga abssissasi x=x₀bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilganurinmaning burchak koeffitsienti hosilaning shu nuqtadagi qiymatiga teng k_urinma=f’(x₀).
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada uzluksiz va f’(x₀)=+∞ bo‘lsin. U holda funksiya grafigi abssissasi x=x₀ nuqtada vertikal urinmaga ega bo‘lib, unga nisbatan funksiya grafigi 7–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.

7-rasm 8-rasm

Xuddi shu kabi f’(x₀)=-∞ bo‘lganda ham x=x₀ nuqtada funksiya grafigi vertikal urinmaga ega bo‘ladi, funksiyaning grafigi urinmaga nisbatan 8–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.

Agar f’(x₀+0)=+∞ va f’(x₀-0)=-∞ bo‘lsa, u holda funksiya grafigining x=x₀

nuqta atrofida 4-rasmda tasvirlangandek bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, f’(x0+0)=-∞va f’(x0-0)=+∞bo‘lganda, funksiya grafigi x=x0nuqta atrofida 3–
rasmdagidek ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday hollarda (x₀,f(x₀)) nuqtada urinma mavjud, ammo hosila mavjud emas.

Agar x=x₀ nuqtada chekli bir tomonli hosilalar mavjud, lekin f’(x₀+0)≠f’(x₀-

0. 
   bo‘lsa, u holda funksiya grafigi 5–rasmdagiga o‘xshash ko‘rinishga ega bo‘ladi. (x₀,f(x₀)) nuqta grafikning sinish nuqtasi bo‘ladi.
   

Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchimasalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v_oniy

= lim	∆s	ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi
	∆t
∆t→0

kelib chiqadi.

s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqtmomentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v_oniy=s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.

Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T) jismni T temperaturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan

issiqlik miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan temperatura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:

C=	dQ	= lim	∆Q	.
	dT
		∆T →0	∆T

Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.