Matritsa normasi

Матрица нормаси ва уни аниқлаш усуллари.




Matritsa normasi bu matritsaga tayinlangan haqiqiy sonni ||A|| deb ataymiz Shunday qilib, haqiqiy son sifatida u har bir matritsaga n o'lchovli fazodan tayinlanadi va 4 ta aksiomani qanoatlantiradi:
1. ||A||³0 va ||A||=0 faqat agar A nol matritsa bo'lsa;
2. ||aA||=|a|·||A||, bu yerda a R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (ko'plik xususiyati)
Matritsa normasi turli usullar bilan kiritilishi mumkin. A matritsasi sifatida ko'rish mumkin n 2 - o'lchovli vektor.
Bu norma matritsaning Evklid normasi deyiladi.
Agar har qanday kvadrat A matrisa va o'lchami matritsa tartibiga teng bo'lgan har qanday x vektor uchun ||Ax||£||A||·||x||
u holda A matritsaning normasi vektor normasiga mos keladi deymiz. E'tibor bering, vektor normasi oxirgi holatda chap tomonda (Ax - vektor).
Turli matritsa normalari berilgan vektor normasiga mos keladi. Ulardan eng kichigini tanlaymiz. Shunday bo'ladi
Bu matritsa normasi berilgan vektor normasiga bo'ysunadi. Bu ifodada maksimalning mavjudligi normaning uzluksizligidan kelib chiqadi, chunki har doim vektor x -> ||x||=1 va ||Ax||=||A|| mavjud.
N(A) normasi xech qanday vektor normasiga bo'ysunmasligini ko'rsatamiz. Ilgari kiritilgan vektor normalariga bo'ysunadigan matritsa normalari quyidagicha ifodalanadi:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimal)
2. ||A|| 1 = |a ij | (norma-sum)
3. ||A|| 2 = , (spektral norma)
bu erda s 1 - A¢A nosimmetrik matritsaning eng katta xos qiymati, u transpozitsiya qilingan va asl matritsalarning mahsulotidir. Agar A¢A matritsasi nosimmetrik bo'lsa, uning barcha xos qiymatlari haqiqiy va ijobiydir. l soni xos qiymat, nolga teng bo'lmagan vektor x esa A matritsaning xos vektori (agar ular Ax=lx munosabati bilan bog'langan bo'lsa). Agar A matritsaning o'zi simmetrik bo'lsa, A¢ = A, u holda A¢A = A 2 va keyin s 1 = , bu erda eng katta mutlaq qiymatga ega A matritsaning xos qiymati.Demak, bu holda bizda = .
Matritsaning o'ziga xos qiymatlari uning kelishilgan normalaridan oshmaydi. Xususiy qiymatlarni aniqlovchi munosabatni normallashtirib, biz ||lx||=||Ax||, |l|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | l| £||A||
beri ||A|| 2 £||A|| e , bu erda Evklid normasini oddiygina hisoblash mumkin, spektral norma o'rniga, matritsaning Evklid normasi taxminlarda ishlatilishi mumkin.
Matritsaning faqat uchta normasi mavjud.