Matritsalar va ular ustida amallar

11-xossa. Agar |A| determinantni biror i-satrining algebraik to‘ldiruvchilari A_ij (j=1,2, … , n) va b_j (j=1,2, … , n) ixtiyoriy sonlar bo‘lsa, unda

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda |B| determinant |A| determinantdan faqat i-satri bilan farq qilib, uning i-satri b_j (j=1,2, … , n) sonlardan tashkil topgan bo‘ladi.
Isbot: Bu xossa isbotini III tartibli |A| determinantning , masalan, birinchi satri uchun keltiramiz. Bu holda
b₁A₁₁+ b₂A₁₂+ b₃A₁₃= |B|
yig‘indining qo‘shiluvchilari |A| determinantning birinchi satr bo‘yicha yoyilmasini ifodalovchi
a₁A₁₁+ a₂A₁₂+ a₃A₁₃ =|A|
yig‘indi qo‘shiluvchilaridan faqat birinchi ko‘paytuvchilari, ya’ni birinchi satr elementlari bilan farq qiladi. Shu sababli |A|, |B| determinantlar bir-biridan faqat birinchi satri bilan farq qiladi va |B| determinantning birinchi satri b₁, b₂ va b₃ sonlardan iborat bo‘ladi.
Masalan, A₁₁, A₁₂ va A₁₃

determinantni birinchi satri elementlarining algebraik to‘ldiruvchilari bo‘lsa, unda
.

12-xossa. Agar |A| determinantni biror i-satrining a_ij (j=1,2, … , n) elementlari boshqa bir k-satr (i≠k) mos elementlarining A_kj (j=1,2, … , n) algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirilgan bo‘lsa, bu ko‘paytmalar yig‘indisi nolga teng bo‘ladi.

Isbot: Oldingi xossada b_j= a_ij (j=1,2, … , n) deb olsak, unda

Bu yerda |B| determinant berilgan |A| determinantning k-satriga i-satrining a_ij elementlarini qo‘yish bilan hosil qilinadi. Shu sababli |B| determinantning i-satri va k-satri bir xil bo‘lib, 3-xossaga asosan uning qiymati nolga teng bo‘ladi, ya’ni
(8)