Mavzu : O’rin almashtirishning hosil qiluvchi funksiyasi, guruhlashni hosil qiluvchi funksiyasi

1-misol. x dan ikkita , y va z dan bitta elementlardan tashkil topgan kortesh uchun barcha takrorli o’rin almashtirishni tuzing . Bu misolni yechish uchun yuqoridagi 1- teoremadagi formuladan foydalanamiz. B0unda n barcha elemenlar soni n=4 , x elementdan ikkita bo’lgani uchun n1=2, y va z uchun n2 = n3 = 1 bo’ladi. Fo’rmulaga qo’ysak : bo’ladi. Bu o’rin almashtirishda quidagilarni hammasi keltirilgan : xxyz , xxzy , xyxz , xyzx xzxy , xzyx , yxxz , yxzx yzxx , zxxy , zxyx , zyxx 2-misol. Uchta elementdan iborat A={a, b, c} to‘plamning elementlaridan tuzilgan o‘rin almashtirishlar soni 6 ga teng: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Teorema. n elementga ega bo`lgan S to`plamning barcha o`rin almashtirishlari soni P n =n! ga teng. 3-misol. Javonga 6 ta kitobni necha usulda joylashtirish mumkin . P6 =6 ! =720 Takrorli o‘rinlashtirishlar. n ta elementlardan tashkil topgan to’plam berilgan bo’lsin. Bu elementlardan foydalanib, m ta elementdan tashkil topgan kortejlarni shunday tuzamizki, bu kortejlarga har bir element hohlagancha marta (albatta m dan oshmagan miqdorda) kirishi mumkin bo’lsin va bu kortejlar bir-biridan ularni tashkil etuvchi elementlar turlari bilan yoki bu elementlarning joylashishlari bilan farq qilishsin. Shunday usul bilan tuzilgan kortejlarning har biri n ta turli elementlardan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan m tadan o‘rinlashtirish (qisqacha, takrorli o‘rinlashtirish) deb ataladi. n ta turli elementlardan m tadan takrorli o’rinlashtirishlar sonini bilan belgilaymiz. 2- teorema. n ta turli elementlardan m tadan takrorli o‘rinlashtirishlar soni ga teng, ya’ni =. 1-misol. Xonada beshta chiroq bor. Ularning har bir yo yonishi yo yonmasligi mumkin. Xonani nechta usulda yoritish mumkin?   Yechilishi. Har bir chiroq uchun ikkita variant mavjud – yo yonish yo yonmaslik. Jami boʻlib 2 2 2 2 2=25=32 variant.

2-misol. Oila a’zolari besh kishidan iborat bo’lib, ular ikkita ishni bajarishlari zarur (masalan, non sotib olish va uni bo’laklash), bunda oilaning har bir a’zosi ikkala ishni ham bajarish imkoniyatiga ega. Oila a’zolariga bu ishlarni taqsimlashda mumkin bo’lgan imkoniyatlar soni aniqlansin. Bu masalani hal qilish uchun oila a’zolarini a, b, c, d, va e harflari bilan belgilab, ishlar ikkita bo’lgani uchun beshta turli elementlardan ikkitadan barcha takrorli o’rinlashtirishlarni tuzamiz: aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,ca,cb,cc, cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee. Hammasi bo’lib 25ta ( ) takrorli o’rinlashtirishlar tuzildi. Demak, besh kishidan iborat oila a’zolariga ikkita ishlarni taqsimlashda mumkin bo’lgan imkoniyatlar soni 25dir. 3-misol. Mashina raqami ikki qismdan iborat uch ta lotin alifbosi uch ta raqamdan iborat.Mashina uchun mumkin bo’lgan barcha raqamlar sonini hisoblang. Lotin alifbosidagi yigirma oltita turli harflar yordamida 17 576 ta () ikkitadan takrorli o’rinlashtirishlar tashkil etish mumkin. O’nta 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 va 9 raqamlardan esa 1000 ta () turli uch xonali raqamlarni (bu raqamlarda dastlabki nollar tashlab yuborilmaydi) hosil qilish mumkin. Shunday qilib, Mashina raqamlari soni 17 576 000ga () teng.