Mavzu: Analitik geometriya
Yüklə 116,73 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish Matematikaning geometrik masalalar algebraik usul bilan yechiladigan bulimi analitik geometriya
- Rene Dekart
- Kutb koordinatalar sistemasi. 1. Y Ikki uk orasidagi burchak.
|
Mavzu: Analitik geometriya REJA Kirish Tugri burchakli dekart koordinatalar sistemasi. Ikki nukta orasidagi masofa. Kesmani berilgan nisbatda bulish. Kutb koordinatalar sistemasi. Tugri burchakli dekart koordinatalar sistemasi bilan kutb koordinatalar sistemasi orasidagi boglanish. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish
Ixtiyoriy tugri chizik olaylik, unda boshlangich 0 nukta tanlangan, sanokning musbat yunalishi “ “ belgi bilan kursatilgan, uzunlik birligi tanlab, tugri chizikka 0 nuktadan boshlab joylashtiriladi. Bu tugri chizikni — s o n u k i deb ataladi. M — tugri chizikning ixtiyoriy nuktasi bulsin. OM yunalgan kesmaning uzunligi OM ni karaylik. OM ning yunalishi ukning yunalishi bilan ustma-ust tushsa OM = !OM!, agar yunalishi ustma-ust tushmasa u xolda OM = — !OM! buladi. !OM! — OM kesmaning uzunligidir. M nuktaning son ukidagi koordinatasi kuyidagicha ifodalanadi: S A V
-2 0 3 5 A(3); V(5); S(-2) va xokazo. Umumiy xolda A(X1); V(X2); S(X3),._ Ikki nukta orasidagi masofani topish uchun kuyidagi formuladan foydalanamiz: !AV! = !x2 - x1! = !x1 - x2! (1) Endi tekislikda yotgan nuktaning vaziyatini kurib chikaylik. Ikkita uzaro perpendikulyar ikkita ukni olaylik. Bu ikkala tugri chizikni kesishgan nuktasini O — koordinata boshi deb ataladi, gorizontal joylashgan ukni OX deb belgilab, — absissalar uki, vertikal ukni esa OY — ordinata uki deb ataymiz. OX va OY uklar joylashgan tekislikni esa koordinatalar tekisligi deb ataymiz va OXY bilan belgilaymiz. м x x 0 M tekislikning ixtiyoriy nuktasi bulsin, uning vaziyati ikkita son bilan aniklanadi. M nuktadan OX va ‘Y uklariga MA va MV perpendikulyar tushiramiz. M nuktaning koordinatalari M(x; u) — shaklida belgilanadi. Bu yerda x-absissa, u-ordinata. OX va OY uklar koordinata tekisligini turtta chorakka buladi. I chorakda x>0; y>0 II chorakda x<0; y>0 III chorakda x<0; y<0 IV chorakda x>0; y<0 A(x1; u1) va V(x2; u2) nuktalar orasidagi masofa kuyidagicha xisoblanadi: !AV!= (x2 - x1)2+(u2 - u1)2 (2) Endi fazodagi nuktaning vaziyatini aniklashga utamiz. Bitta 0 nuktada kesishgan va bir-xil masshtab birligiga ega bulgan uchta uzaro perpendikulyar OX, OU va ‘Z uklar fazoda tugri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini aniklaydi va Y OX YZ - shaklida belgilanadi. Bu yerda O - koordinatalar boshi OX - absissalar uki OU - ordinatalar uki OZ - olplikatalar uki deyiladi. M nukta fazodagi ixtiyoriy nukta bulsa, uning koordinatalarini kuyidagicha ifodalaniladi: M(X; Y; Z) XOU, UOZ va X’Z tekisliklar koordinata tekisliklari deb ataladi va ular fazoni sakkizta oktantalarga ajratadi. I oktanta x>‘, y>‘, z>‘ III II II oktanta x<‘, y>‘, z>‘ III oktanta x<‘, y<‘, z>‘ IV oktanta x>‘, y<‘, z>‘ V oktanta x>‘, y>‘, z<‘ VI oktanta x<‘, y>‘, z<‘ VII oktanta x<‘, y<‘, z>‘ y VIII oktanta x>‘, y<‘, z>‘ VIII V Fazoda joylashgan ixtiyoriy ikki nukta A(x1; y1; z1) va V(x2; y2; z2) orasidagi masofa kuyidagi formula yordamida xisoblanadi: !AV!= (x2 - x1)2+(u2 - u1)2+(z2 - z1)2 (3) Aytaylik (M1 M2) kesmani >0 nisbatda bulaklarga bulishimiz kerak bulsin. Bu degani kesmada shunday M nuktani topishimiz kerakki, uning uchun M1 M -------- = munosabat urinli bulishi kerak. M M2 Bu tenglikdan M1 M = M M2 => x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x = -------- y = ---------- z = --------- (=1) 2 2 2 Kutb koordinatalar sistemasi. 1. Y Ikki uk orasidagi burchak. R tekislikda yotuvchi ixtiyoriy ikkita O nuktada kesishuvchi l1 va l2 ukni olib karaylik. l1 va l2 uklar orasidagi burchak deb, R tekislikda l1 ukni l2 uk bilan ustma-ust tushgunga kadar O nukta atrofida burishdan xosil bulgan burchakka aytiladi. l2 O l1 Bu yerda l1 ni soat strelkasiga karama-karshi yunalishda burish musbat yunalish, soat strelkasi buyicha burilsa, - manfiy yunalish deb kabul kilingan. U xolda (l1 ^ l2) = (l2^l1) (l1 ^ l2) = deb belgilaymiz, bunda O 2 Dekart koordinatalardan sung, kup ishlatiladigan sistemalardan biri — polyar koordinatalar sistemasidir. Tekislikda l gorizontal ukni olib, uni polyar uki deb ataylik. Uning boshki nuktasi O ni — polyus deb ataladi. Polyus bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy M nuktani olaylik. M nuktani O polyus bilan tutashtiraylik va l1 uk deb belgilaylik. (l0 ^ l1) = deb belgilaylik va uni M(.) ning polyar burchagi deb ataymiz: !OM! = r -M nuktaning polyar radiusi deyiladi. l1 r M O l M(; r) — nuktaning polyar koordinatalari. 2. Polyar koordinatalar sistemasi va dekart koordinatalar sistemasi orasidagi bogliklik. Ba’zi masalalarni yechishda polyar va dekart koordinatalar sistemasida ishlashga tugri keladi. Shuning uchun polyar va dekart koordinatalar sistemalari orasidagi bogliklikni topaylik. Aytaylik polyar uk l bilan absissalar uki, polyus bilan koordinatalar boshi ustma-ust tushsin. U xolda tekislikda olingan ixtiyoriy M nukta polyar koordinatalar sistemasida M(; r) koordinataga va Dekart koordinatalar sistemasida M(x; u) koordinatalarga ega bulsin. u M
O x x Chizmadan kurinib turibdiki, trigonometrik ta’rifga asosan x y
r r bundan x = r cos (4) y = r sin (4) dekart koordinatalarni polyar koordinatalari orkali ifodasidir. (4) formulani xar ikkala tomonini kvadratga kutaraylik: x2 = r2 cos2 (4) y2 = r2 sin2 x2+ y2= r2 cos2 r2+ sin2 = r2 (cos2 + sin2 )= r2 demak, r = x2+ y2 Endi u = y = r sin va x = r cos larni nisbatini topaylik u r sin y --- = -------- = tg; => = arctg --- ; x r cos x Demak, r = x2+ y2 y (5) = arctg --- x bu yerda O 2 (5) polyar koordinatalari orkali ifodasidir. Misol: M(3; 1) nuktasining polyar koordinatalarini toping. y 1 r = x2+ y2 = 3+1 = 2; tg = --- = ----- x 3 y Demak, = --- yoki = --- 6 6 Agar x=3; va u=1 ekanligini xisobga olsak, x va u birinchi chorakda musbat, demak, = --- 6 u xolda M(---; 2) <=> M(3; 1) 6 Yüklə 116,73 Kb. Dostları ilə paylaş:
|