Mavzu: Aniqmas integral

Mavzu: Aniqmas integral

Ma’lumki, biror funksiyadan hosila hisoblash jarayonini uni

differensiallash deb yuritilar edi. Biz endi differensiallash amaliga teskari bo‘lgan amal
integrallash amalini o‘rganamiz.
Differensiallash hisobining asosiy masalasi berilgan funksiyaga ko‘ra uning
hosilasini topish bo‘lsa, integral hisobining asosiy masalasi funksiya hosilasiga ko‘ra
uning o‘zini topishdir.
Aytaylik funksiya biror X oraliqda qaralayotgan bo‘lsin.
1-Ta’rif. Agar X oraliqning barcha nuqtalarida
(1)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, o‘sha oraliqda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
deb ataladi.
Masalan: funksiya uchun boshlang‘ich funksiyadir,
yoki | | funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
YUqoridagi ta’rif hamda misollardan ko‘rinayaptiki, agar funksiya
funksiyaning biror oraliqda boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, o‘sha oraliqda
ifoda ham boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki 0 bo‘lib, . Demak,
berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p ekan. Umuman,
boshlang‘ich funksiyalar haqidagi quyidagi teorema o‘rinli.
1-Teorema. Har qanday uzluksiz funksiya cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega
bo‘lib, ularning ixtiyoriy ikkitasi bir- biridan o‘zgarmas songa farq qiladi.
◄Isbot. Uzluksiz funksiyaning boshlang‘ichi mavjudligini isbotlash
muammoliroq bo‘lganligi sababli, biz bu masalani ochiq qoldiramiz. Boshlang‘ich
funksiyalarning soni cheksiz ko‘pligi yuqorida ko‘rsatildi. Bizga ikkita boshlang‘ich
funksiyaning bir- biridan o‘zgarmasga farq qilishini isbotlash qoldi. hamda
lar funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar bo‘lsin. Demak
,
Bu ikki tengliklarni bir- biridan ayirsak
ya’ni
[ ]
Agar fuknsiyaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, uning o‘zi o‘zgarmas bo‘lganligi uchun
shuni isbotlash talab etilgan edi.
Demak ixtiyoriy ikkita boshlang‘ich funksiya uchun deb
yozish mumkin. ►
2-Ta’rif. Agar X oraliqda funksiya uchun boshlang‘ich funksiya
bo‘lsa, u holda o‘sha oraliqda ifodani funksiyaning aniqmas integrali
deb yuritiladi va ∫ kabi yoziladi.
Demak ta’rifga ko‘ra:
∫ (2)
bu yerda ∫ aniqmas integral belgisi, integrallash o‘zgaruvchisi, -integrallanuvchi funksiya hamda, - esa integral belgisi ostidagi ifoda deb
yuritiladi.
Agar funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, aniqmas integral
geometrik jihatdan bu boshlang‘ich funksiyani vertikal ravishda yuqoriga va pastga
siljitishlardan hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfini ifodalaydi.
Funksiyalarni integrallash amali funksiyalarni differensiallash amaliga teskari
bo‘lgan amaldir. Ammo differensiallash amali kabi elementar funksiyalarni integrallash
har doim ham mumkin bo‘lavermaydi. SHuning uchun funksiyalarni sinflarga ajratib,
bu sinflarni integrallash usullarini alohida o‘rganamiz.
Aniqmas integralning asosiy xossalari.
1. Agar biror oraliqda (7.1) tenglik o‘rinli bo‘lsa aniqmas integralning hosilasi
integrallanuvchi funksiyaga teng bo‘ladi, ya’ni:
∫ (3)
Haqiqatan ham,
∫
2. Agar (1) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda
∫ (4)
bo‘ladi.
Funksiya differensialining aniqlanishiga asosan:
∫
3. Agar aniqmas integral belgisi ostida biror funksiyaning differensiali ishtirok
etsa bu aniqmas integralning qiymati differensial belgisi ostidagi funksiya bilan
o‘zgarmas sonning yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni:
∫ (5)
Haqiqatan ham differensialning ta’rifi va (7.1) tenglikka ko‘ra
∫ ∫ ∫
Masalan, ∫ ∫ . Anikmas integral jadvali.
Quyida biz asosiy elementar funksiyalar aniqmas integrallarining jadvalini
keltiramiz. Jadvaldagi har bir formulaning to‘g‘riligini differensiallash yo‘li bilan
tekshiriladi.
1. ∫
2. ∫ | |
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫ | |
10. ∫ | |
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√
14. ∫
√
15. ∫ | |
16. ∫
√
| √ |
17. ∫
Eslatma. Bu jadvalga qo‘shimcha ravishda giperbolik funksiyalarning
integrallarni ham qo‘shishimiz mumkin. Keltirilgan integrallar jadvalidagi 9, 10, 15, 16,
17 formulalarga mos keluvchi formulalar hosilalar jadvalida yo‘q. 17- formulani quyida
keltiriladigan bo‘laklab integrallash usuli yordamida chiqaramiz. Qolganlarini esa
bevosita differensiallash yordamida isbotlash mumkin. Masalan, 16 formulani
tekshiraylik:
* | √ |+
√
(
√
)
√
Demak 16 formula o‘rinli. Qolgan formulalarni ham xuddi shu kabi teshirishimiz
mumkin.
niqmas integralni hisoblashning qoidalari
2-Teorema. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan chiqarib yozish
mumkin, ya’ni agar bo‘lsa, u holda
∫ ∫ (6)
bo‘ladi.
◄Isbot. Bu tenglikning ikkala tomonini differensiallasak,
∫ , ∫ ∫ .
Demak, berilgan tenglikning chap va o‘ng tomonidagi funksiyalar bir- biridan
o‘zgarmas songa farq qiladi. Aniqmas integrallar o‘zgarmas son ma’nosida teng
bo‘lganligi uchun, teorema isbot bo‘ldi. ►
3-Teorema. CHekli dona funksiyalar algebraik yig‘indisining integrali
qo‘shiluvchilar integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni: ∫[
] ∫ ∫ ∫ (7)
◄ Isbot.Tenglikning ikkala tomonini differensiallab topsak
[∫[ ] ]
[∫ ∫ ∫ ]
YUqoridagi xossadagi kabi (7) tenglikning ikki tomoni o‘zgarmas ma’nosida o‘zaro
teng bo‘lganligi uchun teorema o‘rinli. ►
4-Teorema. Agar (2) tenglik o‘rinli bo‘lsa, har doim quyidagilarni yozish
mumkin:
∫ (8)
∫ (9)
∫ (10)
◄Isbot. Biz umumiy bo‘lgan oxirgi holni isbotlaymiz. Buning uchun (10)
tenglikning chap va o‘ng tomonlarini differensiallaymiz
[∫ ] ,
* + ( )
CHap va o‘ng tomon hosilalari teng, shuning uchun (10) tenglik o‘rinli bo‘ladi.►
YUqoridagi teoremalar qo‘llanishiga doir misollar qaraylik.
1-Misol. ∫ (
√
) integralni hisoblang.
►∫ (
√
) ∫ ( )
◄
2-Misol. ∫
√
integralni hisoblang.
►Integral ostidagi ifodani shakl almashtirsak
∫
√
∫
Darajali funksiyaning integrali va (7.10) formulaga ko‘ra
∫
√
◄
Bo‘laklab integrallash va o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
Integrallash amali – differensiallashga teskari bo‘lganligi uchun,
differensiallashda qo‘llaniladigan ko‘pchilik usullarni aniqmas integralni hisoblashga
ham o‘tkazish mumkin. Masalan yig‘indidan bu amallar bir xil hisoblanadi yoki
o‘zgarmas ko‘paytuvchini ikkala amaldan ham tashqariga chiqarish mumkin.
Bo‘laklab integrallash usuli.
Bu usul ko‘paytmaning differensiali formulasidan kelib chiqadi. va
funksiyalar bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu holda
yoki
Oxirgi tenglikni integrallab topsak
∫ ∫ ∫
yoki
∫ ∫ (11)
Hosil bo‘lgan tenglikka bo‘laklab integrallash formulasi deb ataladi.
Mazkur formuladan foydalanishda aniqmas integral ostidagi ifodani shunday
bo‘laklarga ajratish lozimki, natijada tenglikning o‘ng tomonidagi integral dastlabkisiga
qaraganda sodda integralga keladigan bo‘lsin. Ushbu formulaning qo‘llanilishiga doir
bir necha misol qaraylik.
3-Misol. ∫ ni hisoblang.
► sifatida ni, ni deb olsak, va bo‘ladi. Demak,
∫ | | ∫ ◄
Ko‘rib turibmizki bir marta bo‘laklash formulasi qo‘llanilganidan so‘ng jadval
integraliga keldik.
4-Misol. ∫ ni hisoblang. ►∫ | | ∫ ∫ ◄
, , , , , ,
kabi hamda ularga o‘xshash funksiyalar bo‘laklab integrallash usuli yordamida
integrallanadi. qatnashgan hollarda ( natural son) nechaga teng bo‘lsa shuncha
marta bo‘laklab integralashga to‘g‘ri keladi.
5-Misol. ∫ integralni hisoblang.
►∫ | | ∫
| | ∫
◄
∫ va ∫ kabi integrallarni hisoblashda
integral ostidagi ifoda , yoki kabi bo‘laklariga
ajratiladi. Bo‘laklab integrallash formulasi bir marta qo‘llanilganda yana yuqoridagi
integrallarga o‘xshash integrallar hosil bo‘ladi. U yerda yana bir marta bo‘laklab
integrallash usulini qo‘llaniladi. Natijada yana dastlabki integralga o‘xshash integral
hosil bo‘ladiki, uni chap tomonga o‘tkazib dastlabki integral hisoblanadi.
►∫ | | ∫
| | * ∫ +
SHunday qilib
∫ * ∫ +
Oxirgi tenglikdan izlanayotgan integralni topamiz
∫ ◄