15-ma’ruza. Aniqmas integral

15-ma’ruza. Aniqmas integral.

Reja:

1. 
   Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari. Integralning sodda
   xossalari.
   
2. 
   Aniqmas integrallar jadvali. Integrallash usullari. Tatbiqlari.
   

15.1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari. Integralning soddaxossalari
1. Boshlang‘ich funksiya va uni topish.
Bizga funksiya berilgan bo‘lsin, bu funksiyaning hosilasini topish amaliga differensiallash amali deyilar edi. Masalan, harakat tenglamasi berilgan bo‘lsa, uning bo‘yicha differensiallash bilan tezlikni topamiz. Yana bu tezlikni bo‘yicha differensiallasak tezlanish ni topamiz. Biroq, amalada bunga teskari masalani ham yechishga to‘g‘ri keladi, ya’ni tezlanish vaqtning funksiyasi sifatida berilgan bo‘lsa, vaqtda o‘tilgan yo‘lni va tezlikni topish kerak bo‘ladi. Buning uchun, bu yerda hosilasi bo‘lgan funksiyani topib, so‘ngra hosilasi bo‘lgan funksiyani topish kerak bo‘ladi. Ko‘p masalalarda noma’lum funksiyaning berilgan hosilasi bo‘yicha o‘zini topishga to‘g‘ri keladi, ya’ni agar funksiya berilgan bo‘lsa, shunday funksiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan funksiyaga teng bo‘lsin .
1-Ta’rif. Agar kesmaning har bir nuqtasida tenglik bajarilsa, u holda funksiya berilgan funksiyaning boshling‘ich funksiyasi deyiladi.
Masalan, a) berilgan bo‘lsin. Uning boshlang‘ich funksiyasi
bo‘ladi, chunki ;
b) Agar bo‘lsa, uning boshlang‘ich funksiyasi ga teng, chunki .
Agar funksiya boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, bunda ning boshqa har qanday boshlang‘ich funksiyasi dan o‘zgarmas ga farq qiladi.
Masalan, berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin, esa ning boshqa boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, bo‘ladi, bu yerda -o‘zgarmas miqdor. Demak, agar funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda ham ni boshlang‘ich funksiyasi bo‘lib, u ning barcha boshlang‘ich funksiyalar to‘plamini tashkil etadi. Bundan kelib chiqadiki funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p bo‘lar ekan.
Masalan, , edi. Lekin ham boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Chunki . Endi aniqmas integralni ta’rifini keltiramiz.
2-Ta’rif. Agar funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda ifoda ham boshlang‘ich funksiya bo‘lib, funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.
Bu yerda - belgi integral belgisi, -integral ostidagi funksiya deyiladi. Shunday qilib, aniqmas integral funksiyalar to‘plamidan iborat bo‘lar ekan.
Aniqmas integralning geometrik ma’nosi, tekislikdagi egri yoki to‘g‘ri chiziqlar oilasidan iborat bo‘lib, bular bir chiziqning o‘ziga parallel holda o‘qi bo‘ylab pastga yoki yuqoriga siljitishdan iborat bo‘ladi. Har qanday uzluksiz funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi mavjud bo‘ladi. Demak, bunday funksiyaning aniqmas integrali mavjuddir.
Funksiyani integrallash uchun uning boshlang‘ich funksiyasini topish kerak bo‘lar ekan. Shu sababli biror funksiyani integrallaganda topilgan boshlang‘ich funksiyasidan hosila olib, integrallash natijasi tekshiriladi.