Mavzu: Birinchi tartibli, oddiy differentsial tenglamalarni yechishning sonli taqribiy usullari uchun dastur ta`minotini yaratish

2. Eyler usulining ishchi algoritmi va dastur ta`minoti.
Bizga quyidagi birinchi tartibli differentsial tenglama(Koshi masalasi)ni
(2)
Oraliqdagi , boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differentsial tenglamaning yechimi qidiriladigan [a,b] kesmani x₁,x₂,...x_n tugun nuqtalar bilan bo’laklarga bo’lamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari x_i1a(i1)h (i0..n-1) formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda y(x_i) yechimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy qiymatlar bilan almashtiriladi.
(2) differentsial tenglamani x_i nuqta uchun yozib olib, chekli ayirmali formuladan foydalanamiz va natijada quyidagi Eyler formulasiga ega bo’lamiz:



Ma`lumki, funktsiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:


Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita had bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
(3)
Ushbu almashtirishning geometrik ma`nosi quyidagicha:
Xosilaning geometrik ma`nosiga ko’ra

(3) dan
Demak, chekli ayirmalar formulasi hosilaning asl qiymatidan ga farq qiladi, ya`ni BE qancha kichik bo’lsa, chekli ayirma y’ hosilaga shuncha yaqin bo’ladi. Rasmdan da ekanini ko’rish mumkin. (2) va (3) dan ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:
(4)
Hosil qilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo’lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo’lgan differentsial tenglamaning y<sub>i</sub> xususiy yechimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko’rinib turibdiki, y<sub>i1</sub> yechimni topish uchun y<sub>i</sub> yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Eyler usulining geometrik ma`nosi quyidagicha:
A nuqta xx_i nuqtaga mos keluvchi yechim bo’lsin. Bu nuqtadan integral chiziqqa o’tkazilgan urinma x_i1 nuqtada boshqa integral chizig’ida y_i1 yechimni aniqlaydi.