Mavzu: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar reja: Birinchi egri chiziqli integral

20. Birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash.
Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan ko’rinadiki, u berilgan f ( x , y ) funksiya
va A B egri chiziqqa bog’liq bo’ladi.
Faraz qilaylik, A B

sodda silliq egri chiziq ushbu
tenglamalar sitemasi bilan aniqlangan va
A  ( x ( ), y (  )), B  ( x (  ), y (  ))
bo’lsin. Shu egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan.
Teorema. Agar f ( x , y ) funksiya A B da uzluksiz bo’lsa, u holda birinchi tur
egri chiziqli integral
 B
A
f x y ds
( , )
mavjud bo’lib,
f x y ds f x t y t x t y t dt A B
 ( , )   ( ( ), ( )) 2 ( )  2 ( ) 
bo’ladi. [ ,  ] segmentning
P  {t0 , t1 ,..., t n 1 , t n } (t0   , t n   )
bo’laklashi A B egri chiziqda
Ak  ( x (t k ), y (t k )) ( k  0 ,1,2 ,..., n)
nuqtalarni hosil qilib, u o’z navbatida A B egri chiziqning
{ , ,..., , } ( , )
P  A0 A1 An 1 An A0  A An  B
bo’laklashini yuzaga keltiradi.
Bu bo’laklashga nisbatan quyidagi
( k , k ) Ak Ak 1, S k esa A k A k 1
yig’indini tuzamiz. Bunda ( k , k )  Ak Ak 1
  ,  S k esa A k A k 1
egri chiziq uzunligi.
Ma’lumki

bo’ladi.O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: bo’ladi.O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:
Endi
 k  x ( k ),  k  y ( k )
deb qaraymiz. Ravshanki ( k , k )  Ak Ak 1

  Modomiki f ( x , y ) funksiya
A B

egri chiziqda berilgan ekan, unda f ( x , y )  f ( x (t ), y (t )) bo’ladi. Natijada (1)
yig’indi ushbu
ko’rinishga keladi. x (t ) , y (t ) funksiyalar [ ,  ] da uzluksiz bo’lganligi sabali
max  k   0
k
t da  max  k   0
bo’ladi. Yana
f ( x (t ), y (t )) x (t )  y 2 (t )

funksiya da uzluksiz bo’lganligi uchun u da integrallanuvchi bo’ladi.

(2) tenglikda limitga o’tib topamiz.

Bu teorema birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligini ifodalash bilan

birga uni hisoblash imkonini ham beradi 1-natija. Aytaylik, A B

egri chiziq y  y ( x ) ( a  x  b ) tenglama bilan
aniqlangan bo’lib, y ( x ) funksiya [ a , b ] da uzluksiz hamda uzluksiz y ( x ) hosilaga
ega bo’lsin ( y a   A , y b   B ).
Agar f ( x , y ) funksiya esa shu A B

egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, 
A B
f x y ds

( , )
birinchi tur egri chiziqli integral mavjud bo’lib
y k 1
f x y ds f x y x y x dx
A B
b a
 ( , )   ( , ( )) 1  2 ( )

(4)
bo’ladi

Ikkinchi tur egri chiziqli integral
10. Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. Tekislikda (sodda)
uzunlikka ega bo’lgan A B

egri chiziqni qaraylik (2-chizma)

2-chizma
Bu egri chiziqning biror

P  A0 , A1 , A 2 ,..., A n  ( A0  A , A n  B )
bo’laklashini olamiz. Natijada A B egri chiziq
Ak Ak 1 (k  0,1,2,... n  1)

bo’lakchalarga ajraladi. Ak Ak 1


ning	va
proyeksiyalari mos ravishda va bo’lsin:

OX OY koordinatalar o’qlardagi
 x k  y k пр ox Ak Ak 1   x k , пр oy Ak Ak 1   y k ( k  0,1,2,... n  1).
 
Aytaylik, A B

egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan b o’lsin. Har bir Ak Ak 1

da ixtiyoriy ( k , k ) nuqtalarni olib, so’ng bu nuqtadagi funksiyaning qiymati
f ( k , k ) ni  x k va  y k larga ko’paytirib, quyidagi
пр ox Ak Ak 1   x k , пр oy Ak Ak 1   y k ( k  0,1,2,... n  1).
yig’indilarni hosil qilamiz. Bu yig’indilar f ( x , y ) funksiyaga bog’liq bo’lishi bilan
birga A B

egri chiziqni bo’laklashga hamda har bir Ak Ak 1

da olingan ( k , k )
nuqtalarga bog’liq bo’ladi 1-ta’rif. Agar    0 olinganda ham shunday   0 son topilsaki, A B

egri
chiiqning diametri   
p
bo’lgan har qanday P bo’laklash uchun tuzilgan  1 ( 2 )
yig’indi ixtiyoriy ( k , k )  Ak Ak 1

  nuqtalarda
 1  J 1   (  2  J 2   )
tengsizlik bajarilsa, f ( x , y ) funksiya A B

egri chiziq boyicha integrallanuvchi, J 1
son ( J 2 son) esa f ( x , y ) funksiyaning i kkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.

k abi belgilanadi. Demak,

Keltirilgan ta’rifdan quyidagi kelib c hiqadi:

Aytaylik, A B

egri chizig’ida P ( x , y ) va Q ( x , y ) funksiyalar berilgan bo’lib,
 
A B A B
P x y dx Q x y dy
 
( , ) , ( , ) lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari
bo’lsin. Ushbu
  
A B A B
P x y dx Q x y dy
 
( , ) ( , )
yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deyiladi va
P x y dx Q x y dy
A B
 ( , )  ( , )

kabi belgilanadi:     
A B A B A B
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2) f ( x , y ) funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari A B

egri
chiziqning yo’nalishiga bog’liq bo’lib,
   
B A A B
f x y dx f x y dx
 
( , ) ( , ) ,
   
B A A B
f x y dy f x y dy
 
( , ) ( , )
bo’ladi.
3) Agar A B

egri chiziq OX koordinatalar o’qiga (OY kordinatalar o’qiga)
perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq kesmadan iborat bo’lsa


 ( , )  0  ( , )  0
B A A B
f x y dy f x y dy
 
bo’ladi. Aytaylik, K A B

 sodda yopiq egri chiziq bo’lsin. Bu holda
A va B nuqtalar ustma-ust tushadi chizma
3 -chizma
Yopiq egri chiziq K da chizmada ko’rsatilganidek ikki yo’nalish bo’lib, ulardan biri musbat ikkinchisi esa manfiy bo’ladi.
Agar kuzatuvchi K chiziq boyicha xarakatlanganda K bilan chegaralangan
to’plam har doim chap tomonda qolsa bunday yo’nalish musbat bo’ladi, aks holda
esa manfiy bo’ladi.
Shu K egri chiziqda f ( x , y ) funksiya berilgan bo’lsin. K chiziqda ixtiyoriy
ikki A va B nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalar K egri chiziqni ikkita A n B va B m A
egri chiziqlarga ajratadi.,