Mavzu: Cheksiz to‘plamlarni quvvatiga ko‘ra taqqoslash muammolari

Eksponensial o'sish sur'atlari:
Har xil eksponensial ifodalar har xil 
sur'atlarda o'sadi. Eksponensial ifodaning o'sish tezligi uning bazasi bilan 
belgilanadi. Masalan, agar 2^x va 3^x ni solishtirsak, x kattalashgan sari, 3^x oxir-
oqibat 2^x dan oshib ketadi, chunki 3-bazasi 2-asosdan kattaroqdir. 
Limitlar:
Eksponensial ifodalarning chegaralarini hisoblash ularning 
eksponent sifatidagi harakatlarini aniqlashga yordam beradi 
Cheklovlar:
Eksponensial ifodalar chegaralarini hisoblash, eksponent 
cheksizlikka yaqinlashganda, ularning harakatini aniqlashga yordam beradi. Misol 
uchun, x ning cheksizlikka yaqinlashganda x^2 va 2^x o'sish sur'atlarini 
solishtiraylik. X cheksizlikka yaqinlashganda chegarani olsak, 2^x ning 
eksponensial o'sishi x^2 ning kvadratik o'sishidan oshib ketishini aniqlaymiz, ya'ni 
2^x tezroq o'sadi. 
Asimptotik taqqoslash:
Big O belgisi kabi asimptotik belgilar ko'pincha 
funktsiyalarning o'sish sur'atlarini solishtirish uchun ishlatiladi. Misol uchun, agar 
bizda ikkita f(x) va g(x) funksiyasi bo'lsa, f(x) O(g(x)) deb aytamiz ("f(x) g(x) ning 
katta O"si deb o'qing" ) agar C musbat doimiysi mavjud bo'lsa, shundayki barcha 
etarlicha katta x uchun |f(x)| ≤ C|g(x)|. Ushbu belgi bizga funktsiyalarning o'ziga xos 
qiymatlariga kirmasdan o'sish sur'atlarini solishtirishga yordam beradi. 
Logarifmlar:
Logarifmik funktsiyalar eksponensial ifodalarni solishtirishda 
foydali bo'lishi mumkin. Eksponensial tenglamaning ikkala tomonining logarifmini 
olish taqqoslashni soddalashtirishi mumkin. Logarifmlar logarifmik funksiyalarning 

---

qo‘shish va ko‘paytirish qoidalari kabi xossalarini qo‘llashda ham hisob-kitoblarni 
soddalashtirishga yordam beradi. 
Seriyani kengaytirish:
Cheksiz kuchlarni solishtirishning yana bir usuli 
ifodalarni ketma-ket kengayishlarga kengaytirishdir. Masalan, Teylor seriyasining 
kengayishi kuchlari ortib boradigan atamalar yig'indisi sifatida funktsiyalarni taxmin 
qilish uchun ishlatilishi mumkin. Seriya kengaytmalaridagi atamalarni taqqoslash 
orqali biz iboralarning nisbiy o'sish sur'atlari haqida tushunchaga ega bo'lishimiz 
mumkin. 
Shuni ta'kidlash kerakki, cheksiz kuchlarni taqqoslash murakkab mavzu 
bo'lishi mumkin va har doim ham to'g'ridan-to'g'ri javob bo'lishi mumkin emas. 
Muayyan muammoga qarab turli xil texnika va yondashuvlar talab qilinishi mumkin. 
Asimptotik tartib: Cheksiz kuchlarni solishtirganda, biz funktsiyalarni 
ularning o'sish sur'atlariga qarab tartiblaydigan asimptotik tartibni o'rnatishimiz 
mumkin. Masalan, f(x) va g(x) funksiyalarga ega bo’lsak, f(x) g(x) dan asimptotik 
kichik (f(x) 
≪
g(x) deb belgilanadi) deymiz, agar lim(x→) bo’lsa. ∞) f(x)/g(x) = 0. 
Bu degani, x cheksizlikka yaqinlashganda g(x) f(x) dan sezilarli darajada tez oʻsadi.