Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

12-§. Integrallovchi ko’paytuvchi.

Faraz qilaylik, ushbu

(1)
tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lmasin, ya’ni sohada aniqlangan birorta ham funksiya uchun

tenglik o’rinli bo’lmasin.
Ta’rif-1. Agar sohada berilgan va birorta funksiya uchun, ushbu
(2)
tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, u holda (1) tenglamaga to’liq differensialli tenglamaga keltiriladigan tenglama, funksiyaga esa uning integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi. Bu holda
(3)
o’rinli bo’ladi. Bundan
(4)
ekanligini topamiz.
Teorema-1. Agar bo’lib, funksiya intervalda aniqlangan hamda (2) differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya (1) differensial tenglamaning ham shu intervalda aniqlangan yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra, funksiya (2) differensial tenglamaning yechimi bo’lgani uchun, ushbu
(5)
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikda ekanligini inobatga olsak, (5) tenglama

ko’rinishni oladi. Bu esa o’z navbatida funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatadi. ■
Endi integrallovchi ko’paytuvchining ayrim xossalari bilan tanishamiz. Aytaylik, (2) tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsin. Boshqacha aytganda funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lsin. U holda (4) tengliklardan
(6)
munosabatni topamiz. Bu tenglikni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

yoki
. (7)
Bunda deb olsak, (7) dan
(8)
kelib chiqadi. Bu munosabat funksiyaga nisbatan birinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali differensial tenglamadir. Bizga (8) tenglamaning biror xususiy yechimini topish yetarlidir. Bunday yechim nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiyalar uzluksiz bo’lgani uchun mavjud.