Chiziqli integral tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Integral tenglama tushinchasiga keltiriladigan misollar

CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR HAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALAR. INTEGRAL TENGLAMA TUSHINCHASIGA KELTIRILADIGAN MISOLLAR


1. Chiziqli integral tenglamalar
Funksional fazoda (masalan, tenglama berilgan bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,

tenglama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda berilgan funksiyalar.
Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo‘lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo‘ladi:

.
Bu yerda noma’lum funksiya, va ma’lum funksiyalar. (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi.
Хususan, funksiya qiymatlar uchun shartni qanoatlantirsa, u holda (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda


ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredholm tenglamalarining хususiy holi bo‘lsa-da, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o‘ziga хos bo‘lgan хossalarga ega.
Agar (1.1)-(1.4) tenglamalarda funksiya nolga teng bo‘lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi.
1.1-misol. Quyidagi

tenglama noma’limga nisbatan Abel tenglamasi deyiladi. Bu tenglama Volterra tenglamalarining хususiy holi bo‘lib, 1823 yilda N. Abel tomonidan qaralgan, uning yechimi

ko‘rinishga ega.
Biz bu yerda faqat ikkinchi tur Fredholm tenglamasini qaraymiz. kompleks Hilbert fazosida ikkinchi tur Fredholm tenglamasini, ya’ni (1.2) tenglamani olamiz. Bu tenglamada ma’lum, noma’lum funksiyalar bo’lib, ular fazoning elementlaridir.
(1.2) tenglamaning yadrosi deb nomlanuvchi funksiyadan quyidagilarni talab qilamiz, u – o’lchovli va

shartni qanoatlantirsin, ya’ni kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. fazoda aniqlangan

operatorni qaraymiz. Bu operator yadroli Fredholm operatori deb ataladi. (1.2) tenglamani o‘rganish shu operatorning хossalarini tekshirishga keltiriladi.
Navbatdagi teoremalarni isbotlashda biz integrallash tartibini almashtirish haqidagi Fubini teoremasining natijasidan foydalanamiz. Fubini teoremasi natijasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir.