Mavzu: Chiziqli uzluksiz funksiоnallar. Nоrmalangan fazоda chiziqli funksiоnallar. Хan-Banaх tеоrеmasi. M

23.1-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional biror nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu chiziqli funksional butun fazoda uzluksiz.

23.2-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional uzluksiz bo‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.

Xuddi chiziqli operatorlardagidek tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlarning aniq quyi chegarasi funksionalning normasi deyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib,

.

Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi uchun

(23.1)
tenglik o‘rinli.


23.3-teorema. (Xan-Banax). kompleks chiziqli normalangan fazo, - ning qism fazosi va - da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. U holda ni normasini saqlagan holda da aniqlangan chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya’ni



shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional mavjud.

Isbot. Aytaylik, bo‘lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib chiqadiki, barcha larda tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qavariq funksional bo‘ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Shunday ekan, 7.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi:

1) , ,

2) .

Bu yerdan ning chegaralanganligi va tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan,

.

Demak, . ∆

23.1-natija. chiziqli normalangan fazo va undagi ixtiyoriy belgilangan element bo‘lsin. U holda butun da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki,

, (23.2)

tengliklar o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. funksionalni bir o‘lchamli qism fazoda quyida-gicha aniqlaymiz:

.
Ko‘rinib turibdiki,


.

Bu yerdan funksionalni butun gacha chiziqli davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan funksional (23.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo‘ladi. ∆

Endi chiziqli funksionalning davomiga doir misol qaraymiz.


23.1. uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosini qaraymiz. qism fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

.

funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring.