Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish

CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI OPERATSION USULDA YECHISH
Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operator yordamida yechish sxemasi, bitta differensial tenglamani yechish kabidir.


Misol: Quyidagicha differensial tenglamalar sistemasini yeching

Agar , , u holda ;
; va quyidagicha operatorli sistemaga oʻtamiz:
ushbu sistemani yechib
u holda X(p) va Y(p) lar uchun asllar quyidagicha koʻrinishni oladi:


DELTA-FUNKSIYA [8 – funksiya, 8(x)] — matematik masalalarni yechishda koʻp qoʻllaniladigan belgisi. D.-f. ni ixtiyoriy uzluksiz funksiya f(x) ga /(0) soni mos keladigan chiziqli funksional tarzda ifodalash mumkin. Shuning uchun D.-f. umumlash gan funksiya yoki Dirak funksiyasi deb ham ataladi (P. Dirak (1) shartlar bilan aniklangan funksiyani birinchi boʻlib ishlatgan). D.-f. nazariy fizikaning matematik apparatida ham qoʻllaniladi.

Delta-funksiyaning sxematik grafi

Delta funksiyasi qanday ishlaydi?

Bu tavsif Dirac deltasining funktsiyasini belgilash yo'li bilan amalga oshiriladi, shunda u har bir joyda 0 qiymatiga ega, u 0 ning kirish qiymatidan boshqa qiymatga ega. O'sha nuqtada u cheksiz baland bo'lgan bir boshni ifodalaydi. Barcha chiziq bo'yicha olingan integral 1 ga teng. Agar siz hisob-kitoblarni o'rganib chiqsangiz, ehtimol bu hodisaga oldingiz. Ushbu nazariy fizika bo'yicha yillardagi kollejlar darajasidagi o'quvlardan keyin o'quvchilarga odatda tanish bo'lgan kontseptsiya ekanligini yodda tuting.
Boshqacha aytganda, ba'zi bir tasodifiy kirish qiymatlari uchun bir o'lchamli o'zgarmaydigan x ( x ) eng asosiy Delta funksiyasi uchun natijalar quyidagilar:

• 
  d (5) = 0
  
• 
  d (-20) = 0
  
• 
  d (38.4) = 0
  
• 
  d (-12.2) = 0
  
• 
  d (0.11) = 0
  
• 
  d (0) = ∞
  

Funksiyani doimiy ravishda kattalashtirish orqali o'lchashingiz mumkin. Hisoblash qoidalariga ko'ra, doimiy qiymat bilan ko'payish, bu sobit omil bilan integral qiymatini oshiradi. D ( x ) ning barcha haqiqiy sonlar bo'yicha ajralmas qismi 1 bo'lsa, unda uni bir qattiq bilan ko'paytirib, shu sobitga teng bo'lgan yangi integral bo'ladi.
Masalan, 27d ( x ) ning barcha haqiqiy sonlari bo'yicha integrali mavjud.
Ko'rib chiqiladigan yana bir foydali narsa shundaki, funktsiya faqat 0 ga kirish uchun nolga teng bo'lmagan qiymatga ega bo'lsa, u holda nuqta 0 ga to'g'ri kelmasa, koordinatalarni tekshirib ko'rsangiz, bu funktsiyani kiritish ichidagi bir ifoda.
Shuning uchun zarrachaning x = 5 holatida bo'lgan fikrini ifodalashni istasangiz, siz Dirac delta funksiyasini d (x - 5) = ∞ deb yozasiz (chunki d (5 - 5) = ∞].
Agar siz bu funksiyani kvant sistemasidagi nuqta zarralarini ifodalash uchun ishlatmoqchi bo'lsangiz, uni turli xil tirajli delta vazifalarini qo'shib qilishingiz mumkin. Haqiqiy misol uchun x = 5 va x = 8 nuqtalari bo'lgan funksiya d (x - 5) + d (x - 8) kabi ifodalanishi mumkin. Agar siz barcha funktsiyalarning bir qismini barcha raqamlardan ajratib olsangiz, vazifalar ikkita nuqtadan tashqari barcha joylarda 0 bo'lsa-da, haqiqiy sonlarni ifodalovchi integral olasiz. Keyinchalik, bu kontseptsiya ikki yoki uch o'lchamli (misollarimda ishlatiladigan bitta o'lchovli holat o'rniga) bo'sh joyni ko'rsatish uchun kengaytirilishi mumkin.
Bu juda murakkab mavzudagi tan olishdir-qisqacha kirish. Buni amalga oshirish uchun asosiy narsa Dirac Delta funksiyasi asosan yagona funktsiyani integratsiyalashuvini amalga oshirish uchun mavjud. Ajralmas sodir bo'lmaganda, Dirak delta funksiyasi mavjudligi ayniqsa foydali emas. Ammo fizikada, siz birdaniga bitta nuqtada mavjud bo'lgan zarrachalarsiz hududdan ketish bilan shug'ullanayotganingizda, bu juda foydali.

Delta funksiyasi manbai

1930-yilgi Kvant mexanikasining tamoyillarida ingliz nazariy fizikasi Pol Dirak kvant mexanikasining asosiy elementlarini, shu jumladan, sutyen-ket belgilarini va uning Dirac delta funksiyasini bayon etdi. Ular Schrodinger denklemindeki kvant mexanikasi sohasida standart tushunchalar bo'lib qoldi.