Mavzu: Ehtimolning klassik, geometrik

Mavzu: Ehtimolning klassik, geometrik va statistik ta’riflari. Murakkab hodisalarning ehtimolliklari.
To’la ehtimollik.

Reja:

1. 
   Ehtimolning klassik ta'rifi. Ehtimollar xususiyatlari.
   

2. Ehtimolni, nisbiy chastotani statik aniqlash.

3. 
   Geometrik ehtimolliklar.
   

1. 
   Ehtimolning klassik ta'rifi. Ehtimollar xususiyatlari. Ehtimollar ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biridir. Ushbu kontseptsiyaning bir nechta ta'riflari mavjud. Biz
   

klassik deb nomlangan ta'rifni beramiz. Keyinchalik, biz ushbu ta'rifning zaif tomonlarini ko'rsatamiz va klassik ta'rifning kamchiliklarini bartaraf etish uchun boshqa ta'riflarni beramiz.

Bir misolni ko'rib chiqaylik. Qutida 6 ta o'xshash, ehtiyotkorlik bilan aralashtirilgan to'plar bo'lsin, ulardan ikkitasi qizil, 3tasi ko'k va 1tasi oqdir. Shubhasiz, rangli (ya'ni qizil yoki ko'k) to'pni saylov qutisidan olib tashlash qobiliyati oq to'pni olish qobiliyatidan kattaroqdir. Bu xususiyatni raqam bilan tavsiflash mumkinmi? Siz qila olasiz. Ushbu raqam voqea ehtimoli deb nomlanadi (rangli to'pning paydo bo'lishi). Shunday qilib, ehtimollik - bu voqea sodir bo'lish darajasini tavsiflovchi raqam.

Biz o'zimizga tasodifiy olingan to'pning rangli bo'lishi ehtimolini hisoblash vazifasini qo'ydik. A voqea sifatida rangli to'pning paydo bo'lishini ko'rib chiqamiz. Mumkin bo'lgan har bir natija (sinov to'pni saylov qutisidan olib tashlashdan iborat) deb nomlanadi elementar natija (oddiy voqea). Elementar natijalarni w 1, w 2, w 3 va hokazolar bilan belgilaymiz. Bizning misolimizda quyidagi 6 elementar natija mumkin: w 1 - oq to'p paydo bo'ldi; w 2, w 3 - qizil to'p paydo bo'ldi; w 4, w 5, w 6 - ko'k to'p paydo bo'ldi. Ushbu natijalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etishini ko'rish oson (faqat bitta to'p albatta paydo bo'ladi) va ular bir xil darajada mumkin (to'p tasodifiy ravishda olinadi, to'plar bir xil va yaxshilab aralashtiriladi).

Bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'lgan boshlang'ich natijalar deyiladi qulay ushbu tadbirga. Bizning misolimizda quyidagi 5 natijalar A hodisasini (rangli to'pning paydo bo'lishi) ma'qullaydi: w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.

Shunday qilib, agar A protsessida foydali bo'lgan elementar natijalardan biri yuz bersa, A voqea kuzatiladi; bizning misolimizda A 2, w 2, yoki w 3, yoki w 4, yoki w 5, yoki w 6

sodir bo'lganda kuzatiladi. Shu ma'noda, A voqea bir necha elementar hodisalarga bo'linadi (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); elementar voqea boshqa hodisalarga bo'linmaydi. Bu A hodisa va elementar hodisa (elementar natija) o'rtasidagi farq.

A hodisa uchun maqbul bo'lgan elementar natijalar sonining ularning umumiy soniga nisbati A hodisasining ehtimoli deb ataladi va P (A) bilan belgilanadi. Ushbu misolda elementar natijalarning umumiy soni 6; Ulardan 5 tasi A hodisasini ma'qullaydi, shuning uchun olingan to'pning rangga aylanishi ehtimoli P (A) \u003d 5 / 6. Bu raqam biz topmoqchi bo'lgan rangli to'pning paydo bo'lishi ehtimolligi darajasining miqdoriy bahosini beradi. Endi biz ehtimollik ta'rifini beramiz.

A hodisasining ehtimoli ular ushbu hodisaga ijobiy natijalar sonini to'liq guruhni tashkil etadigan barcha mumkin bo'lgan nomuvofiq elementar natijalarning umumiy soniga nisbati deb atashadi. Demak, A hodisaning ehtimolligi formulada aniqlanadi

bu erda m - A ni afzal ko'rgan elementar natijalar soni; n - sinovning barcha mumkin bo'lgan elementar natijalarining soni.

Bu erda boshlang'ich natijalar mos kelmaydi, tenglashadi va to'liq guruhni tashkil qiladi deb taxmin qilinadi. Ehtimollik ta'rifidan quyidagi xususiyatlar kelib chiqadi:

Taxminan 1 ga yaqin. Ishonchli voqea ehtimoli bitta.

Darhaqiqat, agar voqea ishonchli bo'lsa, unda testning har bir elementar natijasi ushbu tadbirni yoqtiradi. Bunday holda, m

\u003d n;


P (A) \u003d m / n \u003d n / n \u003d 1.
Taxminan 2 bilan taxminan. Mumkin bo'lmagan voqea ehtimoli nolga teng.

Darhaqiqat, biron bir voqea bo'lishi mumkin emas bo'lsa, unda testning biron bir elementar natijasi ushbu hodisani yoqtirmaydi. Bunday holda, m \u003d 0, shuning uchun

P (A) \u003d m / n \u003d 0 / n \u003d 0.

Taxminan 3 ga yaqin. Tasodifiy voqea ehtimoli noldan bittagacha bo'lgan musbat sondir..

Darhaqiqat, testning boshlang'ich natijalarining faqat bir qismi tasodifiy hodisani yoqtiradi. Bunday holda, 0< m < n, значит, 0

< m / n < 1, следовательно,


0 < Р (А) < 1

Shunday qilib, har qanday voqea ehtimoli er-xotin tengsizlikni qondiradi

Izoh: Ehtimollar nazariyasida zamonaviy qat'iy kurslar ma'lum nazariy asosda qurilgan. Biz yuqorida ko'rib chiqilgan tushunchalarni belgilangan nazariya tilida belgilash bilan cheklanamiz.

Tekshiruv natijasini w i, (i \u003d 1, 2, ..., n) bitta va bittagina hodisada topishga ruxsat bering. V i, chaqirilgan tadbirlar elementar hodisalar (elementar natijalar). Bundan kelib chiqadiki, elementar hodisalar o'zaro mos kelmaydi. Sinovda ko'rinishi mumkin bo'lgan ko'plab elementar hodisalar chaqiriladi elementar hodisalar maydoni V, va oddiy hodisalar - bo'sh joy nuqtalari W A hodisa elementlari A uchun afzal bo'lgan elementar natijalar bo'lgan kichik (W bo'shliqning) pastki qismi bilan aniqlanadi; voqea B - natijalari B uchun maqbul bo'lgan V elementlari to'plami. Shunday qilib, sud jarayonida yuz berishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar to'plami Wning barcha to'plamlari to'plamidir. Vning o'zi sinovning har qanday natijasida ro'y beradi, shuning uchun W ishonchli voqea; W bo'shlig'ining bo'sh pastki qismi - bu imkonsiz hodisa (sinovning har qanday natijasida bo'lmaydi).

E'tibor bering, elementar hodisalar barcha hodisalardan ajralib turadi, chunki ularning har birida faqat bitta element W mavjud.

W i ning har bir elementar natijasiga musbat son beriladi p i - bu natija ehtimoli va

Ta'rifga ko'ra, A hodisaning P (A) ehtimolligi A foydasiga elementar natijalar ehtimolligi yig'indisiga teng. Bu erda ishonchli voqea ehtimoli bitta, imkonsiz - nol, ixtiyoriy - noldan bittagacha bo'lganligini aniqlash oson.

Barcha natijalar teng bo'lganda muhim bir muhim vaziyatni ko'rib chiqing. Natija soni n, barcha natijalarning ehtimollik yig'indisi birlikdir; shuning uchun har bir natija ehtimoli 1 / n ga teng. A voqea m natijalariga ijobiy ta'sir ko'rsatsin. A hodisaning ehtimolligi A foydasini kutayotgan natijalar yig'indisiga teng:

P (A) \u003d 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Shartlar soni m ekanligini hisobga olib, bizda bor

P (A) \u003d m / n.

Ehtimolning klassik ta'rifi olinadi.

Mantiqan to'liq ehtimollik nazariyasining qurilishi tasodifiy hodisaning aksiomatik ta'rifi va uning ehtimolligiga asoslanadi.
A. N. Kolmogorov tomonidan taklif qilingan aksioma tizimida noaniq tushunchalar elementar hodisa va ehtimollikdir. Bu erda ehtimollikni aniqlaydigan aksiomalar mavjud:

1. 
   Har bir A voqea manfiy bo'lmagan haqiqiy P (A) raqam bilan bog'liq. Bu raqam A hodisaning ehtimoli deb ataladi.
   

2. 
   Ishonchli hodisaning ehtimolligi quyidagiga tengdir:
   

3. 
   Hech bo'lmaganda bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimollik yig'indisiga teng.
   

Ushbu aksiomalar asosida, ehtimolliklar xususiyatlari va ular o'rtasidagi munosabatlar teoremalar sifatida chiqariladi.

2.