Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin, ya`ni: (1)
differentsial tenglama va
(2)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish kerak.
Galyorkin usulida chegaraviy masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda qidirish taklif etiladi. (3)
Endi e`tiborimizni yana yechimni qidirishga qaratsak, formuladagi s1,s2,...,sn-lar qiymatlari noma`lum bo’lgan o’zgarmaslar hisoblanadi.
u0(x), u1(x),...,un(x) lar esa hisob ishlarini bajaruvchi tomonidan tanlab olinadigan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi, chiziqli bog’liq bo’lmagan funktsiyalar hisoblanadi, ya`ni ular bazis sistemasini tashkil qilib, o’zaro ortogonallik shartini qanoatlanirishi kerak.
Bazis funktsiyalar tanlangach, tafovut funktsiyasini minimallashtirish shartidan foydalanib, kerakli almashtirishlar bajaramiz va natijada s1, s2 o’zgaruvchilardan iborat tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi.
Sistemaning koeffitsentlarini esa (mij) integrallarni hisoblash yordamida topiladi. c1,c2 noma`lumlarni ChATSni yechishning biror usuli yordamida (odatda Gauss usulidan foydalaniladi) topamiz. c1,c2 larni topgach, yn(x) taqribiy analitik yechimni
ko’rinishida yoza olamiz. Yuqorida ko’rib, o’rganib chiqilgan nazariy amallarni quyidagi chegaraviy masala ustida bajarishni tashkil qilaylik,
Chegaraviy masalaning differentsial tenglamasi quyidagicha ko’rinishda berilgan bo’lsin:
Differentsial tenglamaning yechimiga qo’yilgan chegaraviy shartlarga esa y00, y11.
Dastlab berilgan masalaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan bazis funktsiyalarni tanlab olishimiz lozim:
1) u0(x)ni berilgan chegaraviy shart, ya`ni u0(0)0 va u0(1)1 shartni qanoatlantiradigan qilib, quyidagicha tanlab olamiz: u0(x)x.
2) u1(x) va u2(x) larni esa berilgan chegaraviy shartga mos bir jinsli shartlarni, ya`ni u1(0)0, u1(1)0 va u2(0)0 va u2(1)0 shartni qanoatlantiradigan va o’zaro chiziqli bog’liqsiz qilib, quyidagicha tanlab olamiz:
Ishchi formulalarda foydalaniladigan quyidagi operatorni bazis funktsiyalardagi ko’rinishlarini hisoblashni tashkil qilaylik.
Endi quyidagi tenglamalar sistemasining koeffitsientlari va ozod hadlarini hisoblashni tashkil etaylik.
(4)
Bu yerda
;
;
;
Barcha koeffitsentlar ma`lum bo’lgach, ya`ni ularni aniq integrallarni taqribiy hisoblash usulidan foydalanib hisoblangach, hosil bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (4) ni c1 va c2 noma`lumlarga nisbatan yechishni Gauss usuli bilan tashkil qilamiz. Hosil qilingan natijalarni, ya`ni c1 va c2 larning qiymatlarini formulaga qo’yib, berilgan chegaraviy masalaning taqribiy-analitik yechimini hosil qilamiz.