Mavzu. Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes formulalari. G‘oyasi va hatolik tartibi

Integralni taqribiy hisoblashga doir algoritmlar va dasturlar.

Misol.


¹ dx

0
^{I  }1 x
integralning qiymatini trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida

taqribiy hisoblang.

Yechish.

^0,1 kesmani
n  10
ta ^{x0, x1,x1, x2 ,. ,x9, x10}kesmalarga ajratamiz. Har bir

^xi nuqtada
y_i 
f x_i  i  0,1,2,...,10
qiymatlarni hisoblaymiz va quyidagi jadvalga

joylashtiramiz.

i	xi	yi
0	0	1,000
1	0,1	0,909
2	0,2	0,833
3	0,3	0,769
4	0,4	0,715
5	0,5	0,667
6	0,6	0,625
7	0,7	0,588
8	0,8	0,556
9	0,9	0,526
10	1,0	0,500

Trapetsiyalar formulasiga ko’ra


¹ dx _ y y _

I

  h

⁰  y

• 
  y
  

 ......  y



10


^{T }1  x ^ 2
^{1 2 9} ₂ 

₀  
 0,1 (0,5  0,909  0,833  0,769  0,715  0,667  0,625  0,588 
0,556  0,526  0, 25)  0,1 6,938  0,694

Simpson formulasiga ko’ra

¹ dx
^h    

 

0
^{IS  }1 x ^ 3
y₀  y₁₀
 4 y₁  y₃  y₅  y₇  y₉
 2 y₂  y₄  y₆  y₈ 


^{ 0,1  }^{0,5  0, 25} ^{ 4 } ^{0,909  0, 769  0, 667  0,588  0,526} ^
3
^{ 2 } ^{0,833  0, 715  0, 625  0,556}^_ ^{
 0,1 } ^{0, 75  4  3, 459  2  2, 729} ^
3
^{ 0,1 } ^{0, 75  13,836  5, 458} ^{ 0, 693}
3

1. Trapetsiya usuli

program trapesiya;
var n,i,k:integer; a,b,h,s:real;
function f(x:real):real; begin f:=x*x end; procedure trap(a,b:real;n:integer; var s:real); var i:integer; h:real;
begin h:=(b-a)/n; s:=(f(a)+f(b))/2;
for i:=1 to n-1 do s:=s+f(a+i*h); s:=s*h; end; begin
write('a,b,n=');readln(a,b,n); trap(a,b,n,s);

writeln('S=',s); end.
Programma asosida eksperimentlar o’tkazamiz. a,b,n=0 1 10 S=0.335
a,b,n=0 1 20 S=0.33375
a,b,n=0 1 100 S=0.33335
a,b,n=0 1 1000 S=0.3333335
Natija to’g’riligi ko’rinib turibdi.

2. Simpson formulasining dasturi Simpson usuli

program Simpson_simpl;
var n,i,k,m:integer; a,b,h,s,s1,s2:real; //n=2m
function f(x:real):real;
begin f:=x*x end;
procedure Simp(a,b:real;n:integer; var s:real); var i:integer; h:real;
begin s:=f(a)+f(b); s1:=0;s2:=0; h:=(b-a)/n; m:=n div 2;
for i:=1 to m-1 do
begin s1:=s1+f(a+(2*i-1)*h); s2:=s2+f(a+(2*i)*h) end; s:=s+4*s1+2*s2;s:=s*h/3; end;
begin
write('a,b,n=?'); readln(a,b,n); h:=(b-a)/n; Simp(a,b,n,s); writeln('S=',s);
end.
Programma asosida eksperimentlar o’tkazamiz.

a,b,n=?0	1	10	S=0.225333333333333
a,b,n=?0	1	20	S=0.273166666666667
a,b,n=?0	1	40	S=0.301645833333333
a,b,n=?0	1	80	S=0.317080729166667
a,b,n=?0	1	100	S=0.320265333333333
a,b,n=?0	1	200	S=0.326733166666667
a,b,n=?0	1	500	S=0.330677322666667

Natija to’g’riligi ko’rinib turibdi.

Adabiyotlar:

1. 
   Ю. Ю. Тарасевич. Математическое и компьютерное моделирование. Изд. 4-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. 152 с.
   
2. 
   Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. Издательство «Наука» Москва 1986
   
3. 
   Е. В. Бошкиново и др. Численное методы и их реализация в MS Excel. Самара 2009
   
4. 
   Ю. В. Василков, Н. Н. Василкова. Компьютерные технологии вычилений в математическом моделировании. Изд. «Финансы и статистика» М.:2002
   
5. 
   А. С. Амридинов, А. И. Бабаяров, Б. Б. Бабажанов. «Ҳисоблаш математикаси» фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича услубий тавсиялар ва топшириқлар. Самарқанд: СамДУ нашри. 2008.