Mavzu: Matritsalarni xos son va xos funksiyalarini topish

Mavzu: Matritsalarni xos son va xos funksiyalarini topish(3 diagonalli matritsalar)

Reja:

1. 
   Kirish
   
2. 
   Krilof usuli
   
3. 
   Keli-Gamilton teoremasi
   
4. 
   Xulosa
   
5. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

Matritsalar haqida umumiy tushunchalar. Sistemalarni modellashtirishda matritsalar algebrasi degan tushuncha muhim ahamiyatga ega. Rejalashtirish muammolari, yalpi mahsulot, jami mehnat sarfi, narxni aniqlash va boshqa masalalar hamda ularda Kompyuterlarni qo‘llash matritsalar algebrasini qarashga olib keladi. Ishlab chiqarishni rejalashtirish, moddiy ishlab chiqarish orasidagi mavjud bog’lanishlarni ifodalashda va boshqalarda, ma`lum darajada tartiblangan axborotlar sistemasiga asoslangan bo‘lishi lozim.

Аgar biror noldan farqli x vektor uchun,
(1.1)
tenglik bajarilsa, u holda X son А kvadrat matritsaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu tenglikni qanoat- lantiradigan har qanday noldan farqli x vektor А matriianing X xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Koʼrinib turibdiki, agar x xos vektor boʼlsa, u holda ax (a — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor boʼladi. Matritsaning xos soni va xos vektori haqidagi maʼlumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qoʼllaniladi. Аstronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalala- rida ayrim matritsalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini topish talab qilinadi. Bun- day masala xos sonlarning toʼliq muammosi deyiladi. Аyrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matri- saning moduli boʼyicha eng katta yoki eng kichik xos soniii topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matritsa xos sonlarining modullari boʼyicha ikkita eng kattasini aniq- lashga zaruriyat tugʼiladi. Matritsalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining sismiy. muammosi deyiladi. Bir jinsli (1.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud boʼlishi uchun,
(1.2)

shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda А matritsaning asriy (bu termin astronomiyadan kirib qolgai) yoki xarakteristik tenglamasi deyiladi. (1.2) tenglamaning chap tomoni

(1.3)
l-darajali koʼphad boʼlib, u А matritsaning xarakteristik koʼphadi deyiladi. Аyrim hollarda (1.3) koʼphad oʼrnida А matritsaning xos koʼphadi deb ataluvchi
(1.4)
koʼphad bilan ish koʼriladi. Matritsaning xos sonlari uning xos koʼphadining ildizlari boʼladi. (1.4) koʼphad p- darajali boʼlganligi uchun u p ta ildizga ega. А matritsaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun
(1.5)
(1.5) bir jinsli tenglamalar sistemasining noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) ni qurish, 2) = 0 tenglamani yechib, barcha xos sonlarni topish, 3) barcha larga mos kelgan xos vektorlarni (1.5) dan topish. Bu bosqich- larning har biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir. Haqiqatan ham, (1.2) determinantning har bir satri va har bir ustunida qatnashganligi uchun, bunday determinantni ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, yaʼni (1.3) tenglikni hosil qilish katta qiyinchilik tugʼdiradi. Аlgebradan maʼlumki, umumiy holda, ning koeffitsientlarini А matritsaning ishora bilan olingan - tartibli bosh minoralari ning yigʼindisiga teng:


(1.6)

va hokazo. Demak,

(1.7)
Yaqqol ko’rish mumkinki, A matritsaning tartibli diagonal minoralarining soni ga teng . Demak n-tartibli matritsani xos ko’phadi ning koeffisientlarini bevosita hisoblash uchun,

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta n uchun bu masala katta xisoblashlarni talab qiladi. Viyet teoremasidan foydalanib, quyidagi ten1'liklarni yozishi- miz mumkin:

Bu tengliklarni (1.6) tengliklarning birinchisi va (1.7) tenglik bilan solishtirsak,

kelib chiqadi. Shunday qilib, matritsaning barcha xos sonlarining yigʼindisi uning izi t ga (inglizcha trace-iz soʼzidan) teng boʼlib, ularning koʼpaytmasi shu matritsaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: А matritsaning hech boʼlmaganda birontata xos soni nolga teng boʼlishi uchun detA=0 boʼlishi zarur va kifoyadir. Hozirgi vaqtda xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga boʼlinadi: aniq yoki toʼgʼri metodlar va iteratsion metodlar. Birinchi gruppaGa kiradigan metodlar boʼyicha matritsaning xos koʼphadi topiladi (yaʼni koeffisientlar hisoblanadi), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nixoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matritsa elementlari aniq berilgan boʼlsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik koʼphad koeffitsientlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning kompopentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Аniq metodlar, odatda, xos sonlarning toʼliq muammosini yechish uchun qoʼllaniladi. Iteratsion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteristik koʼphad koeffitsnentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iteratsion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxe- masi iteratsion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifa- tida topiladi. Odatda, iteratsion metodlar xos sonlarning qismiy muammosini yechish uchun", yaʼni matritsalarning bitta yoki bir nechta xos sonlari va ularga mos keladigan xos vektorlarni topish uchun qoʼllaniladi. Hozirgi vaqtda toʼliq muammo ayrim hol- larda, maxsus iteratsion metodlar bilan ham yechiladi. Lekin bu metodlar koʼp mehnat talab qiladi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish qadi- miy tarixga ega. Hindlar VI asrdan boshlab chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yecha boshlaganlar. Lekin Leveri (1840 y.) va Yakobi (1846 y.) metodlarini hisobga olmaganda, xos son va xos vektorlarni topish metodlari asrimiz- ning oʼttizinchi yillaridan boshlab yaratilgan.
Krilof usuli

Аkademik А. N. Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratdi. U oʼz metodining gʼoyasini tushuntirish uchun berilgan matritsa bilan bogʼliq boʼlgan oddiy differentsial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishlarning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N. N. Luzin, I. N. Xladovskiy, F. R. Gantmaxer, D. Q. Faddeevlar shugʼullanishgan. Biz bu yerda А. N. Krilov metodining mana shu algebraik in- terpretatsiyasini koʼrib chiqamiz. Matritsalarning minimal koʼphadlari. Аvval chiziqli algebradan ayrim taʼrif va teoremalarni keltiramiz. Аgar A kvadrat matritsa uchun,

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

koʼphad А matritsa uchun nolga aylantiruvchi koʼphad deyiladi. Faqat keltirilgan, yaʼni bosh koeffitsienti birga teng boʼlgan koʼphadlarni qaraymiz. Bunday koʼphadlarning toʼplami boʼsh emas, Gamilton-Keli teoremasiga koʼra А matritsaning xos koʼphadi uning nolga aylantiruvchi koʼphadidir: P(А) = 0. Demak, n-tartibli ixtiyoriy kvadrat matritsa uchun n-darajali nolga aylantiruvchi koʼphad mavjud. Bunday koʼphad yagona emas, chunki agar А matritsa uchun nolga aylan- tiruvchi koʼphad boʼlsa, u holda ga boʼlinadigan har qanday boshqa koʼphad ham nolga aylantiruvchi koʼphad boʼladi. А matritsani nolga aylantiruvchi koʼphadlar orasida eng kichik darajaga ega boʼlgan yagona koʼphad mavjud. Bu koʼphad А matritsaning minimal koʼphadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi koʼphad, shu jumladan А matritsaning xos koʼphadi ham minimal koʼphadga boʼlinadi. Minimal koʼphadning ildizlari xos koʼphadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir. Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor boʼlsin. Maʼlumki, n oʼlchovli fazoda n tadan ortiq chiziqli erkli vektor boʼlishi mumkin emas. Shuning uchun
(2.1)
vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir.Xattoki, ixtiyoriy vektor uchun ham
(2.2)
chiziqli bogʼlanish mavjud. Demak, А matritsaning minimal koʼphadining darajasi n dan kichik boʼlsa, (2.1) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni n dan kichikdir. Berilgan vektor uchun

Krilov metodida aytilganki, ixtiyoriy noldan farqli vektor olamiz va vektorlarni hosil qilamiz.
Gamilton-Keli munosabatini yozamiz:
(2.3)
yoki

vektor tenglama hosil qilinadi.Buni ochib yozaylik endi,
(2.4)

(2.4) tenglamalar sistemasini misol uchun Gauss metodi bilan yechamiz va larni topamiz va natijada (1.3) xos kophad hosil bo’ladi,undan kegin

tenglamalani yechilib lar topiladi.
Endi xos vektorlarni topamiz , larni , vektorlar orqali yoyib olamiz
(2.5)
Quyidagi ko’phadni tuzamiz
(2.6)
vektorlarning quyidagi kombinatsiyasini tuzamiz
(2.7)
Agar desak, bo’lganligi uchun

bo’ladi. koeffitsientlar esa

rekurrent formula yordamida topiladi.
Agar (3) tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulini to‘g‘ri yo‘lini m ta qadami bajarilsa, u holda vektorlar chiziqli erklidir. Shuning uchun (2.4) tenglamalar o‘rniga quyidagi

tenglamalar sistemasini yechib lar topiladi va

tenglama larni topamiz.
ko’phad matritsaning minimal ko’phadi deyiladi
Xos vektor quyidagicha topiladi

bu yerda

Misol 1

Matritsaning xos son va xos vektorlari topilsin.

Yechish: deb qolganini formula orqali topamiz ,ya’ni

shundan so’ng kelib chiqadi bizda

larni hosil qilamiz va (2.4) sistemani yozamiz

Bu sistemani yechishda Gauss usulining uchinchi qadami bajarilmaydi, chunki 2 va 3-tenglamalar bir xil, demak lar chiziqli bog‘liq.
larga bog‘liq

sistemani tuzamiz. Bundan bo‘ladi. deb ni topamiz. ni topish uchun, bizga ma’lum

munosabatdan foydalanamiz

Endi xos vektorlarni topamiz:



ni toppish uchun vektorni boshqacha tanlash kerak.
Xulosa

Men ushbu kurs ishida “Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash” mavzusini o‘rgandim, unda matritsa, matritsaning tartibi, matritsaning determinanti, nol matritsa, birlik matritsa, matritsanining xos son va xos vektorlari, matritsaning xarakteristik tenglamasi, matritsaning xos yoki xarakteristik ko‘phadi, matritsaning minimal ko‘phadi, matritsanining xos son va xos vektorlarini amaliy hisoblashda Krilov metodlarini va moduli bo‘yicha eng katta xos sonni va unga mos xos vektorni topishni o‘rgandim.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, I. Toshkent, O‘qituvchi, 2000.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., Наука, 1970.
3. Копченова И.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. –М., Наука, 1972. – 368 с.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, том I. –М., Наука, 1976.
5. www.ziyo.net