Mavzu: Normal ko’rinishdagi kvadratik forma. Inertsiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik forma

Mavzu: Normal ko’rinishdagi kvadratik forma. Inertsiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik forma
Reja
1. Inersiya qonuni.
2. Musbat aniqlangan kvadratik forma.


A d a b i y o t l a r;
[1]. Dadajonov N.D., Jo`raеva M.Sh. Gеomеtriya. 1-qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1996 yil.
[2]. Qori – Niyoziy. Analitik gеomеtriya kursi. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1975 yil.
[3]. Baxvalov S.V., Modеnov P.S., Parxomеnko A.S. Analitik gеomеtriyadan masalalar to`plami. Toshkеnt. «O`qituvchi», 2006 yil.
[4]. Nazarov X.X., Ochilova O.X., Podgornova Е.G. Gеomеtriyadan masalalar to`plami 1- qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1993, 1997 yil.

Faraz qilaylik, _{ } kvadratik forma kanonik ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, ya’ni _{ } (18)

Kvadratik formani kanonik ko’rinishga keltirganimizda uning matritsasi ham o’zgaradi, lekin bunday o’zgarishda “Algebra va sonlar nazariyasi” kursidan ma’lumki, matritsaning rangi o’zgarmaydi, ya’ni
rangM=rangM₁
bunda M berilgan kvadratik forma matritsasi, M₁ esa shu kvadratik formaning kanonik holga keltirilgandagi matritsasi (bu albatta diagonal ko’rinishdagi matritsa).
Agar M ning rangi r bo’lsa, M₁ ning ham rangi r bo’lib, M₁ ning diagonalida noldan farqli r ta element bo’ladi. O’zgaruvchilar o’rinlarini (agar shu talab qilinsa) almashtirish bilan M₁ ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

Endi _{ } quyidagi kanonik ko’rinishni oladi:
_{ } (19)
Bu kvadratik formadagi a_rr koeffisentlar musbat va manfiy haqiqiy sonlardan iborat bo’lishi mumkin. Faraz qilaylik, shu koeffisentlardan k tasi musbat, qolganlari manfiy bo’lsin, ya’ni

Bunda _{ }, _{ }.
Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaramiz:
_{ }, _{ }, _{ } , ......, _{ }
Natijada _{ } (20)
Kvadratik formaning bunday ko’rinishi uning normal ko’rinishi deyiladi. (20) dagi musbat hadlar va manfiy hadlar soni mos ravishda shu formaning musbat va manfiy indekslari deb ataladi.
Quyidagi teorema o’rinlidir (bu teorema haqiqiy kvadratik formalar uchun inertsiya qonuni deb ham yuritiladi).
Teorema: kvadratik formani qaysi usul bilan kanonik ko’rinishga keltirishdan qat’iy nazar, uning musbat va manfiy hadlari o’zgarmasdir, ya’ni bu indekslar kvadratik formaning qaysi bazisda olinishiga bog’liq emas.
Isbot: faraz qilaylik, _{ } biror bazisda (20) ko’rinishda, boshqa bazisda esa
_{ } (21)
bo’lsin. _{ } ekanini isbotlasak, maqsadga erishamiz. Faraz qilaylik, _{ } aniqrog’i _{ } bo’lsin. O’zgaruvchilarni almashtirish formulalari quyidagi


................................................................ (22)

bo’lib, bu aynimagan almashtirishdan iborat deylik, (22) ning qiymatlarini (21) ga qo’ysak, tabiiyki, (20) ni hosil qilamiz, ya’ni _{ } lar (22) bo’yicha ifodalanganda quyidagi ayniyat hosil bo’ladi:
_{ } (23)
Quyidagi yordamchi bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzamiz:


................................................................ (24)

_{ } bo’lgani uchun bu sistemada tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kamdir, demak, bu sistema nol bo’lmagan yechimga ega. Ulardan biri _{ } bo’lsin. Bu yechimlarni (23) ayniyatga qo’ysak hamda ular yoniga
_{ 
 } (25)
Sistemani qo’shsak, u holda (23)-(25) dan quyidagilarni hosil qilamiz:
_{ } (26)
Lekin, (26) tenglik o’rinli emas, chunki uning chap qismi qat’iy musbat, o’ng tomoni esa manfiy yoki noldir. Shunga o’xshash, _{ } ning ham yuz bermasligini isbotlash mumkin. Demak, _{ }.
Shuni ta’kidlaymizki, kvdratik formaning kanonik ko’rinishi har xil bazisda umuman har xil ko’rinishda bo’ladi, lekin shu kvadratik formaning normal ko’rinishi barcha bazislarda bir xildir.
Misol: _{ }
Kvadratik formani normal ko’rinishga keltiring.
Yechish: avvalo _{ } ni kanonik ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun berilgan formani diqqat bilan ko’zdan kechirsak, _{ } o’zgaruvchining kvadrati va undan tashqari boshqa hadlarda ham _{ } qatnashmoqda, 2-teoremaga asoslanib ish ko’ramiz: _{ } qatnashgan hadlarning barchsini to’plab yozamiz:

Quyidagi aynimagan chiziqli almashtirishni olamiz:
bundan
bu yerda bo’lgani uchun
Demak, .
Endi formani kanonik ko’rinishga keltiramiz:
, , desak, .
U holda ,
va . Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaraylik:
, , berilgan kvadratik forma quyidagi normal ko’rinishni oladi: .
Ravshanki, bu formaning musbat indeksi 2ga, manfiy indeksi esa 1 ga tengdir.
Normal ko’rinishga keltirilgan kvadratik forma barcha hadlarining soni r shu formaning rangi deb ataladi.
Kvadratik forma musbat hadlari sonidan (uni k bilan belgilaylik) manfiy hadlari sonining (uni l bilan belgilaylik) ayirmasi shu kvadratik formaning singnaturasi deb ataladi. Bundan ko’rinib turibdiki, kvadratik formani qaysi usul bilan kanonik ko’rinishga keltirilganda ham signatura ezgarmas ekan. ning signaturasini bilan belgilasak, ta’rifga asosan , lekin bo’lgani uchun , bo’ladi.
Bu tenglamalardan ko’rinadiki, k,l, s,r dan ikkitasi berilsa, qolgan ikkitasini topish mumkin.
Misol: da , , , dir.
Ta’rif: holdagi barcha vektorlar uchun kvadratik forma doimo musbat bo’lsa, bu kvadratik forma musbat aniqlangan deb ataladi.
Masalan:
a) kvadratik forma musbat aniqlangandir, chunki va ning bir vaqtda nol bo’lmagan barcha qiymatlarida (ya’ni da) .
b) kvadratik formani olaylik. Uni ko’rinishda yozsak, shartni qanoatlantiruvchi barcha va uchun bo’ladi. Demak, bu forma musbat aniqlangan emas.
Teorema: n ta o’zgaruvchili kvadratik formaning musbat aniqlangan bo’lishi uchun bu forma musbat hadlarining soni n ga teng bo’lishi zarur va etarlidir.
Isbot: Faraz qilaylik, kvadratik forma
bunda,
Chiziqli almashtirish yordamida (27)
kanonik ko’rinishga keltirilgan bo’lsin.
Zaruriy shart: musbat aniqlangan bo’lsin, u holda barcha larning musbat ekanligini isbotlaymiz. o’zgaruvchining , , ... ,
( ) qiymatlarida , bundan tashqari ; , , ... , ( ) qiymatlarida , bundan tashqari va h.k. Xuddi shunga o’xshash, , , ...., ; bu esa (27) da musbat hadlar soning n ga tengligini bildiradi.
Yetarli sharti: (27) da musbat hadlar soni n ta bo’lsin, ya’ni , ,...,
U holda ning barchasi nolga teng bo’lmagan hamma qiymatlarida
(ya’ni da) .
Misol: kvadratik forma musbat aniqlanganmi?
Yechish: ni quyidagicha yozib olib, kanonik ko’rinishga keltiramiz:

, desak, , bu esa ning musbat aniqlanganligini bildiradi ( , ).