Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar (odt) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni

Chekli ayirmalar usuli

Bu usulning qulayligi shundaki, u diffirensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechishni izlanayotgan funksiyaning ma’lum nuqtalardagi qiymatlariga nisbatan algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib keladi. Bunga diffirensial tenglamadagi hosilalarni chekli ayirmali approksimatsiya qilish orqali erishiladi.
Quyidagi

tenglamaning [a, b] kesmada

Lu  u^  pxu^  qxu  f x,
(5)

l₀ y  c₁ ya c₂ y^a  c,

l₁ y  d₁ yb d₂ y^b  d.
(6)

c₁  c₂
 0,
d₁  d₂
 0.

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab etilgan bo`lsin.
Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy yechimning x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>n</sub> nuqtalardagi y<sub>0</sub>, y<sub>1</sub>,...y<sub>n</sub> taqribiy qiymatlarini topishdan iborat. x<sub>i</sub>, nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz
x_i=x₀+ih, i=0,1,2,...,n.

Bundan


h – kattalik to`r qadami.


x₀=a, x_n=b, h=(b-a)/n.


Quyidagi belgilashlarni kiritamiz p(x_i)=p_i, q(x_i)=q_i, f(x_i)=f_i,

yx_i  
y_i ,
y^x_i  
y_i^,
y^ x_i  
y_i^.

y^x_i  _va
y^ x_i 
larni har bir ichki tugunda ayirmali markaziy hosilalar

yordamida approksimatsiyalaymiz

y^x_i  
^yi1 ^{ y}i1
2h
 Oh² _,
y^ x_i  
^yi 1 ^{ 2 y}i ^{ y}i 1 _{ Oh}² _.
h2

Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz

y₀^ 
y₁  y₀ h
 Oh,
y_n^ 
^{yn  yn1}  Oh. h

Bu formulalarni qo`llab (5), (6) berilgan masala ayirmali approksimatsiyasini hosil qilamiz:

^{ y}i1 ^{ 2 y}i ^{ y}i1 _{ p} ^yi1 ^{ y}i1 _{ q y}
 f ,

i  1, n 1,

h


^{ 2 i} 2h
_ y₁  y₀
i i i

_c₁ y₀  c₂

 c,
h
(7)

d

y

 ^{1 n}


• 
  d ₂
  

^yn ^{ y}n1
h
 d.

Izlanayotgan echimning y₀, y₁,…, y_n taqribiy qiymatlarini topish uchun (7) n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini echish zarur. Bu sistemani CHATS ni echishning biron bir standart usullari (Gauss usuli, iteratsiya, Zeydel, bosh elementlar, relaksatsiya va h.k.) yordamida echish mumkin. Ammo (7) tenglamalar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa uch dioganallidir, shuning uchun uni echishda progonka usuli deb ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz.

7. 
   sistemani quyidagi tarzda yozamiz
   

_ ₀ y₀
 ₀ y₁
 ₀



y

^ i i 1

• 
  _i y_i
  

• 
  ^i ^yi 1
  

 _i ,
i  1, 2,...,n 1,


(8)



y

 n n1

• 
  _n y_n
  

 _n ,

bunda ₀=- c₁h+c₂ , ₀=c₂ , ₀=hc , _I=f_ih²,

  1 ¹
i ₂
p_i h ,
  2  q h² ,
_i  1
p_i h _, 2
i  1,2,...,n 1

i

i
_n= –d₂ , _n=-hd₁-d₂ , _n=hd.

7. 
   sistema echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz
   

y_i=u_i+v_iy_i+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (9) bu erada u_i, v_i , i=0,1,…,(n-1) lar progonka koeffitsientlari deb ataladi.

7. 
   ni (8) ga qo`yib u_i, v_i lar uchun quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:
   

i

i
v  ^i ,
_{u }  _i
^{ }i ^ui 1 _,

i  1, n.

7. 
   (10)
   



i

i
ⁱ  
^vi 1
ⁱ  
^vi 1


Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun
₀=0, _n=0,
deb olamiz.
Progonka usuli ikki bosqichdan iborat.

1. 
   Progonkaning to`g`ri yo`li. (10) bo`yicha i indes o`zgarishining o`sib borish tartibida ketma-ket u_i, v_i koeffitsientlar
   

0
v  ^0 ,
₀
u  ^{ 0} ,

0
₀

7. 
   (11)
   

qiymatlar yordamida hisoblanadi.

2. 
   Progonkaning teskari yo`li. (9) formula bo`yicha i indeksning kamayish tartibida ketma-ket y_n, y_n-1,…,y₀ kattaliklar aniqlanadi.
   

SHunday qilib _n=0, u holda
v_n=0 va y_n=u_n , (12)
ya`ni progonkaning to`g’ri yo`lida v_i , u_i kattaliklar yordami bilan y_n-1, y_n-2, y_n-3,…,y₀ yechimlar hisoblanadi.

y₉  u₉  v₉  y₁₀
y₈  u₈  v₈  y₉

. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .

4. Topshiriq variantlari

Masala. Ikkinchi tartibli oddiy diffirensial tenglama uchun (5), (6) chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching.
Barcha vaiantlar uchun


n=10, a=0, b=1, c₂=0, d₂=0.
Qolgan parametrlarning qiymatlari 2-jadvalda berilgan.
2-jadval

Var. №	p(x)	q(x)	f(x)	с1	с	d1	d
1	2	3	4	5	6	7	8
16 17 18 19 20	0,5+9,1x	26,5x+3	1,7	2,50 0,20 0,40 2,00 3,00	5,00 0,50 0,80 4,00 6,00	5,00 0,50 0,90 5,00 5,00	10,00 0,15 1,18 10,00 10,00

JURNALDAGI TARTIB RAQAMIM 19

C++ dagi kodi quyidagidan iborat bo’ladi

*******************************************************************************/

#include

#include
using namespace std;

int main()

{
float x[11],p[11],q[11],u[11],y[11],v[11],f=1.7;
u[0]=-2.5;
v[0]=0;
//cout<for(int i=0;i<=10;i++)
{
x[i]=i*0.1;
//cout<p[i]=0.5+9.1*x[i];
// cout<
q[i]=26.5*x[i]+3;
// cout<}
float alfa[11],betta[11],gamma[11];

for(int i=0;i<=10;i++)

{
alfa[i]=1-(0.1*p[i])/2;
betta[i]=2-q[i]*0.01;
gamma[i]=1+p[i]*0.1/2;
}
for(int i=1;i<=10;i++)
{ v[i]=gamma[i]/(betta[i]+alfa[i]*v[i-1]);
//cout<u[i]=(-f+alfa[i]*u[i-1])/(betta[i]+alfa[i]*v[i-1]);
}
y[10]=u[10];
for(int i=9;i>=0;i--)
{ y[i]=u[i]+v[i]*y[i+1];
cout<}
return 0;
}