Mavzu: predikatlar mantiqi formulasining normal shakli. Bajaruvchi va umumqiymatli formulalar

Elementar formulalar. Kvantorlar. Predikatlarning rostlik sohasi.
Predikatlar mantiqida quyidagi simvollardan foydalanamiz:

1. a, b, p, q, ... simvollar-1(rost) va 0 (yolg’on) qiymatlar qabul qiluvchi o’zgaruvchi mulohazalar.

2. x, y, z, ..., – biror M to’plamdan qiymat oluvchi predmet o’zgaruvchilar; -predmet konstantalar, ya’ni predmet o’zgaruvchilarning qqiymatlari.

3. - bir o’rinli (unar) predikatlar; -n o’rinli (n-ar) predikatlar simvoli.

4. - bir o’rinli (unar) predikatlar; -n o’rinli (n-ar) o’zgarmas predikatlar simvoli.

5. - mantiqiy amallar simvollari.

6. -umumiylik va mavjudlik kvantorlari simvollari.

7. ( , ) – qavs va vergul qo’shimcha simvol.

2.3. BAJARILUVCHI VA UMUMQIYMATLI FORMULALAR

1- t a ’ r i f . Agar A formula ifodasiga kiruvchi va M sohaga oid o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlari mavjud bo‘lib, bu qiymatlarda A formula chin qiymat qabul qilsa, u holda predikatlar mantiqining A formulasi M sohada bajariluvchi formula deb ataladi.

2- t a ’ r i f . Agar shunday soha mavjud bo‘lib, unda A formula bajariladigan bo‘lsa, u holda A bajariluvchi formula deb ataladi.

Demak, agar biror formula bajariluvchi bo‘lsa, bu hali uning istalgan sohada bajariluvchanligini bildirmaydi.

3- t a ’ r i f . Agar A ning ifodasiga kiruvchi va M sohaga oid hamma o‘zgaruvchilarning qiymatlarida A formula chin qiymat qabul qilsa, u holda A formula M sohada aynan chin formula deb ataladi.

4- t a ’ r i f . Agar A formula har qanday sohada aynan chin bo‘lsa, u holda A umumqiymatli formula deb ataladi.

5- t a ’ r i f . Agar A formula ifodasiga kiruvchi va M sohaga oid hamma o‘zgaruvchilarning qiymatlarida A formula yolg‘on qiymat qabul qilsa, u holda A formula M sohada aynan yolg‘on formula deb ataladi.

Demak, predikatlar mantiqi formulalarini ikki sinfga ajratish mumkin: bajariluvchi sinflar va bajarilmas (bajarilmaydigan) sinflar formulalari.

6- t a ’ r i f . Umumqiymatli formula mantiq qonuni deb ataladi.

1. 
   t e o r e m a . A umumqiymatli formula bo‘lishi uchun uning inkori A bajariluvchi formula bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
   
2. 
   t e o r e m a . bajariluvchi formula bo‘lishi uchun ning umumqiymatli formula bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
   

Berilgan predikatni umumqiymatlilikga tekshirish.

x( A(x) xB(x)) y( A(x) C( y) C( y)B(x));

Quyidagi teng kuchli formulalardan foydalandim:
1. xA(x) x A(x) . (a)

2. xA(x) x A(x) . (b)

3. xA(x) x A(x) . (c)

4. xA(x) x A(x) . (d)

5. x xy x (e)

6. x y x y (f)

Quyidagi formula umumqiymatlimi?

x( A(x) xB(x)) y( A(x) C( y) C( y)B(x));

1-ish.