Mavzu: To’plamlarda akslantirishlar, ularning xossalari funksiyalar akslantirish sifatida

1-teorema. va to‘plamlar birlashmasining asli, shu to‘plamlar asllari birlashmasiga teng :

Isbot. Faraz qilaylik , – ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda . Bundan yoki munosabatlarning kamida bittasiga ega bo‘lamiz. Bu esa ekanligini bildiradi. ning ixtiyoriyligiga ko‘ra
(2)
Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda yoki munosabatlarning kamida bittasiga ega bo‘lamiz. Bu esa yoki munosabatlardan kamida bittasi o‘rinli ekanligini bildiradi. Demak, yoki bo‘ladi.
Bundan va ning ixtiyoriyligidan
(3)
munosabat kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlar teoremaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
2-teorema. va to‘plamlar kesishmasining asli shu to‘plamlar asllari kesishmasiga teng, ya’ni

Isbot. ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda yoki va . Shunday ekan, va , ya’ni . Demak, .
Endi bo‘lsin, u holda va .
Bundan va ga yoki ga ega bo‘lamiz. Demak, . Bu yerdan munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Agar to‘plamdagi har bir elementning asli bo‘sh to‘plam bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda ga ustiga akslantirish yoki sur’yektiv akslantirish deyiladi. Agar to‘plamda shunday element mavjud bo‘lib, uning asli bo‘sh to‘plam bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa , u holda ga ichiga akslantirish deyiladi.
Misol uchun ni ga o‘tkazuvchi ,
Funksiyalarning birinchisi ustiga akslantirish, ikkinchisi esa ichiga akslantirish bo‘ladi.
Agar akslantirishda bo‘lgan ixtiyoriy lar uchun munosabat bajarilsa, u holda ga in’yektiv akslantirish deyiladi.
Agar akslantirish ham sur’yektiv, ham in’yektiv bo‘lsa, u holda ga o‘zaro bir qiymatli akslantirish yoki biyektiv akslantirish deyiladi.
Misollar. 1. funksiya ni ga o‘zaro bir qiymatli akslantiradi.

2. orqali manfiy bo‘lmagan haqiqiy sonlar to‘plamini belgilaymiz. funksiya ni ga ga o‘zaro bir qiymatli akslantirmaydi. Chunki , masalan -1 va 1 sonlarining tasviri 1 ga teng.

   
   

Bu yerda ga akslantirishning aniqlanish sohasi deyiladi va kabi belgilanadi.

Ushbu to‘plamiga akslantirishning qiymatlar sohasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
Ushbu to‘plamga akslantirishning grafigi deyiladi.
Elementlarning soni chekli bo‘lgan to‘plam chekli to‘plam deyiladi. Agar to‘plamdan bitta, ikkita va hokazo elementlarni olganda unda yana ko‘plab elementlar qolaversa, u holda bunday to‘plamlarga cheksiz to‘plamlar deyiladi.
12-ta’rif. Agar va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lsa, u holda va to‘plamlar ekvivalent yoki teng quvvatli to‘plamlar deyiladi va kabi yoziladi.
13-ta’rif. Biror to‘plamning elementlari orasida berilgan qandaydir munosabat
1) refleksivlik:
2) simmetriklik: bo‘lsa u holda bo‘ladi;
3) tranzitivlik: bo‘lsa, u holda kabi shartlarni qanoatlantirsa, to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan deyiladi.