Metrik fazolar Tarif

Metrik fazolar


Tarif. Mayli bo`sh bo`lmagan toplam. Agar aklantirsh quydagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda metrik fazo deyiladi. (metrika aksiomalari)
1. (nomanfiylik aksiomasi)
2. (ayniylik aksiomasi)
3. (simmetrik aksiomasi)
4. (uchburchak aksiomasi)
Eslatib otamiz va to`g`ri ko`paytmasi yoki dekart ko`paytmasi deb toplamga aytiladi.
Tarif. berilgan toplam metrik fazo, undagi metrika , elemetlar metrik fazoning elementlari deb ataladi.
Eslatma. Ba`zan metrik fazoni korishda ham belgilaymiz, bu yerda metrika
Замечание: всякое подмножество метрического пространства рассматриваемое с тем же расстоянием между элементами, также является метрическим пространством и называется подпространством пространства
.
Tarif. metrik fazoda ikki va toplamlar opasidagi masofa deb soniga aytiladi.
Eslatma. Xususa nuqtadan toplamgacha masofa deb songa aytiladi
Tarif. ketma-ketlik va element uchun da va bolsa. metric fazoda aniqlangan bu ikkita ketma- ketlik ekvivalent deyiladi.
Teorema (metrikaning ekvivalent bolishining yetarlilik sharti)
Mayli metric fazo, va unda aniqlangan ikkita metrika bo`lsin. lar uchun tengsizliklar bajarilsa, va metrikalar ekvivalent, bumnda va .
Eslatma. Metrika yuqoridagi shartni qanoatlantirsa, ular topologic ekvivalent deb ham ataladi.
Teoremani isbotin qilishni o”quvchining o”ziga qoldiramiz. (1-masalaga qarang)


Misollar va yechimlari

1. 
   Mayli bo`lsa , unda metrika bolishini isbotlang.
   

Yechim. Metrika aksiomalarini tekshiramiz

1. 
   aniq
   
2. 
   aniq
   

v) aniq
g) ni tekshiramiz
Bizga ma`lum
, va

Shunday qilib 4 holatda ko`rib chiqamiz
1-holat , demak

2-holat , demak

3-holat bunda ikkita holat bor
3a-holat ni tekshiroshimiz kerak
unda unda .
Shart boyicha , demak bundan ,
demak, va, bundan kelib chiqadi

3b-holat
bolsa, ni tekshirish kerak , bolsa , u aniq.
4-holat , bolsa va
Qolgan barcha holatlarda uchburchaklik aksiomasi bajaraladi.
Shunday qilib funksiya metrika bo`ladi.
Mayli bosh bo`lmagan to`plam, funksiya quydagi shartlarni bajarsa.
a)
b) (uchburchak aksiomasi)
funksiyaning da metrika bo`lishini isbotlang.
Yechim. b) shartlarga asosan , bo`lsa , a) , bolsa .
Shartlarning teskarisini tekshiramiz
Mayli bu shart b) shartlar asosida , bo`lsa
a) . Bu tengsizlik to`g`rib o`ladiga har qanday juftlik uchun tenglik ha o`rinli. Demak simmetriklik sharti tekshirildi.
Mayli da -uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo`lsin va quydagi shartlarni qanoatlantitrsin.

1. 
   va bo`lsa
   
2. 
   bo`lsa kamaymaydi
   
3. 
   bolsa o`smaydi
   

da metrikani fomula bilan aniqlash mumkinligini isbotlang.
Yechim. bizga malumki nomanfiylik, ayniylik va simmetrik aksiomalari bajariladi. Uchburchaklik aksiomasini bajarilishini ko`rsatish uchun hohlagan uchun tensizlikni bajarilishini ko`rsatish kifoya.
Haqiqatan ham shart bajariladi b) ga ega bo`lamiz, uchburchaklik aksiomasini ko`rsatish uchun ni isbotlash kifoya.
nuqtalrni quydagicha aniqashimiz mumkin , bunda , . Наконец, осталось переобозначить и таким образом, чтобы (случай является тривиальным).