Metrik fazolar Tarif

funksiyani tekshiramiz. ni isbotlash kerak. Lagranj teoremasiga asosan uchun tenglik o`rinli, bunda
Shartga asosan v) , holatda, bundan , demak , va biz quydagiga ega bo`lamiz
, demak . , v) shartga asosan quydagicha , demak va . , v) shartga asosan ga ega bo`lamiz, bundan , demak .
4. Mayli segmentda - darajali algebraic palinomlarning toplami bo`lsin, agar , bo`lsa , . Ikkita metrikaning tapalogik ekvivalent ekanligini isbotlang
Yechim
Quydagicha belgilash kiritamiz

Songra



kesmani bo`laklashni ko`ramiz. tengliklar sitemasini tuzamiz bunda . Bu yerda koefitsientlar no`malum. Ushbu sistemaning determinant quydagi shaklda



Bu Vandermonda determinanti, u ga teng, chunki barcha bo`linish nuqtalari bir birida farq qiladi. Demak sistema yegona yechimga ega bunda , lar teskari matritsaning
koefitsientlari. koefitsinlar bo`lishtirish nuqtalarini tanlashga bog`liq, ammo polinomga bog`liq emas.
Shunday qilib
Ravshanki bunda

Demak , shuning uchun metrikalar tarifga asosan metrikalar topologik ekvivalent.
metrik fazodagi bosh bo`lmagan va toplamlar uchun
Yechim: Quyidan chegaralangan funksiya uchun, tarifdan tog`ridan to`g`ri kelib chiqadi, bo`lmagan va toplamlari uchun quyidagi munosabat o`rinli

Ravshanki bundan kelib chiqadiki .
Chunki ning eng katta minorantasi , so`ngra soni uchun soni minoranta bo`lmaydi, ya`ni juflik uchun .
Bundan tashqari , so`ngra ga ega bo`lamiz. bolganda tengsizlikga ega bo`lamiz.
Oldingi tengsizliklarni hisobga olsak

Endi ga ega bolamiz. Chunki bundan quyidab chegaralangan, demak
Ikkinchi tenglikning isbotini mustaqil amalga oshirish kerak (26-vazifani ko`ring)