Mavzu: To’plamlarda guruhlash, ular sonini aniqlash Fan nomi

n elementli A_n to`plamdan k elementli qism to`plam ajratib olish
(nk, )tanlanma deyiladi, bunda k - tanlanma hajmi deyiladi.
Ajratilgan qism to‘plamning har bir elementi bilan 1 dan n gacha bo`lgan sonlar o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatilgan bo‘lsa, to‘plam tartiblangan tanlanma, aksincha tartiblanmagan deyiladi.
Agar to‘plam elementlaridan biror bir ro‘yxat tuzib, keyin har bir elementga ro‘yxatda turgan joy raqami mos qo‘yilsa, har qanday chekli to‘plamni tartiblash mumkin. Bundan ko`rinadiki, bittadan ortiq elementi bo`lgan to‘plamni bir nechta usul bilan tartiblash mumkin. Agar tartiblangan to`plamlar elementlari bilan farq qilsa, yoki ularning tartibi bilan farq qilsa, ular turlicha deb hisoblanadi.
Ta`rif 2.
Agar tanlangan qism to`plamda elementlar tartibi ahamiyatsiz
bo`lsa, u holda tanlanmalarga (nk, )guruhlash deyiladi va
С<sub>n</sub><sup>k</sup> ko`rinishida belgilanadi. C – inglizcha “combination”, ya`ni “guruhlash” so`zining bosh harfidan olingan.
Tanlanmalarda elementlar takrorlanishi va takrorlanmasligi mumkin.
Ta`rif 3.
Elementlari takrorlanuvchi tartiblanmagan (n k, ) tanlanmaga n
~<sup>k</sup> elementdan k tadan takrorlanuvchi guruhlash deyiladi va С<sub>n</sub> ko`rinishida belgilanadi.
Ta`rif 4.
Elementlari takrorlanuvchi tartiblangan (n k, )tanlanma n
~<sup>k</sup> elementdan k tadan takrorlanuvchi joylashtirish deyiladi va А<sub>n</sub> kabi belgilanadi. A inglizcha “arrangement” – “tartibga keltirish” so`zining bosh harfidan olingan.
Ta`rif 5.
Agar tartiblangan tanlanmalarda elementlar o`zaro turlicha bo`lsa, u holda takrorlanmaydigan joylashtirish deyiladi va А<sub>n</sub><sup>k</sup> kabi belgilanadi. Ta`rif 6.
n tadan n ta tartiblangan tanlanmaga o`rin almashtirish deyiladi va P<sub>n</sub> kabi belgilanadi. O`rin almashtirish joylashtirishning xususiy xoli hisoblanadi. P inglizcha “permutation” – “o`rin almashtirish” so`zining bosh harfidan olingan.
Misol. A₃ {m n l, , } to`plamning 3 ta elementdan 2 tadan barcha tartiblangan va tartiblanmagan, takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan tanlanmalarini ko`rsating.

1. 
   А₃² {m n; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m l n l n m l m l n}=6 ta takrorlanmaydigan joylashtirish;
   

~^{2 }{m m; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m n m l n n n l n m l m l n l l}9 ta

2. 
   А₃
   

takrorlanadigan joylashtirish;

3. 
   С₃^{2 }{m n; },{ ; },{ ;m l n l^}3 ta takrorlanmaydigan guruhlash;
   

~^{2 }{m m; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m n m l n n n l l l}6 ta takrorlanuvchi guruhlashlar 4) С₃ mavjud.
10. Сn mn Cn mm
20. С C Cnk  nk1  nk11
30. С2nn  (Cn0 )2  (Сn1 )2 ... (Cnn)2
Ushbu xossalarni isbotlash uchun kombinatsiyalarni faktorial ko’rinishida yozib chiqish va hisoblash yetarli.
Teorema. n elementli to‘plamning barcha qism to‘plamari soni 2ⁿ ga teng
n
va quyidagi tenglik o‘rinli: Cnk  2k . k0
Haqiqatdan ham, С_n^k - n elementli to‘plamning barcha k elementli to‘plam ostilari soni bo‘lgani uchun, tushunarliki barcha to‘plam ostilar soni
C С_n⁰ _n¹ ... C_nⁿ yig‘indiga teng bo‘lib, ularning yig‘indisi 2ⁿ ga teng
bo‘ladi.
Misol.
30 ta talabadan 20 tasi o‘g‘il bolalar, tavakkaliga jurnaldagi ro’yhat bo‘yicha 5 talaba chaqirildi, ularning ichida ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan qilib necha xil usulda tanlash mumkin?
Yechilishi: Masala shartida berilgan to‘plamni sodda to‘plamlar yig‘indisi shaklida yozib olamiz:
A={0 tasi o‘g‘il bola, 5 tasi qiz bola}
B={1 tasi o‘g‘il bola, 4 tasi qiz bola } C={2 tasi o‘g‘il bola, 3 tasi qiz bola }
D={3 tasi o‘g‘il bola, 2 tasi qiz bola }
{Ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola}=A∪B∪C∪D kesidhmaydigan to‘plamlar
yig‘indisining quvvati, ushbu to‘plamlar quvvatlari yig‘indisiga teng bo‘ladi. n({ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola})=n(A∪B∪C∪D)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=
=C200 C105 +C201 C104 +C202 C103 +C203 C
!
504 4200 190 120 1140 45 26478900.
Demak, 30 ta talabadan ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan 26.478.900 tanlash usuli mavjud.