Mavzu: Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari Reja: Kirish. I. Bob. Lejandir simvollari

Ta’rif. Ushbu

x₂ a(mod m) (6)

ko`rinishdagi taqqoslamani ikki hadli kvadratik taqqoslama deyiladi.

Teorema. (4) ko`rinishdagi taqqoslamani har doim (6) ko`rinishdagi m1 modulli taqqoslamaga keltirish mumkin.

Ta’rif. Agar (a;m)=1 bo`lganda (6) taqqoslama echimga ega bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha kvadratik chegirma, aks holda a son m Modul bo`yicha kvadratik chegirmamas deyiladi.

Ta’rif. Agar (a;m)=1 bo`lganda (5) taqqoslama echimga ega bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha n-darajali chegirma, aks holda a son n-darajali chegirmamas deyiladi.

Ta’rif. Ushbu

x₂ a(modp) ((a;r)=1,(2;r)=1) (7)

ko`rinishdagi taqqoslamani toq tub modulli kvadratik taqqoslama deyiladi.

Agar (7) da a: r bo`lsa, u holda (7) taqqoslama x0(mod r) echimga ega bo`ladi.

Agar (7) ning echimi sinf bo`lsa, u holda uning echimi - sinf ham bo`ladi.

Eyler kriteriyasi. Agar (a; r)=1 bo`lib, 1(modp) bo`lsa, u holda (7) taqqoslama ikkita echimga ega bo`ladi, -1(modp) bo`lsa, u holda (7) taqqoslama echimga ega bo`lmaydi. (7) taqqoslamada r Modul etarlicha katta son bo`lganda Eyler kriteriyasidan foydalanish unchalik qulay emas. Bunday holda Lejavdr simvolidan foydalanish yaxshi natija beradi. (Lejavdr simvoli va uning xossalari mustaqil ta’limda o`rganiladi).

2.2-§. Ikkihadli taqqoslamalar. Indekslar jadvali va uning tatbidlari.
Biz p tub modul bo’yicha ildiz mavjudligini bilamiz. Malumki son modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa

Sonlar qatori shu modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi. qatorning hadlari bilan o’zaro tub bo’lib,ular modul bo’yicha ta sinfning vakillaridan iboratdir.

Demak, bo’lsa ,u holda qatorda modul bo’yicha son bilan taqqoslanuvchi yagona element topiladiki,ya’ni

taqqoslama o’rinli bo’ladi.

Ta’rif.Agar son tub modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lib, bo’lganda taqqoslama o’rinli bo’lsa, son sonning modul bo’yicha asosga nisbatan indeksi deyiladi va u kabi belgilanadi. Agar asos avvaldan berilgan bo'lsa, ning indeksi orqali belgilanadi.
Bu tarifdan foydalanib ni quyidagicha yozish mumkin;

Yuqoridagilarga asosan,har bir shartni qanoatlantiruvchi son berilgan asos bo’yicha

Sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan.Asosning o’zgarishi bilan indeks ham o’zgaradi.Masalan 7 modul bo’yicha 1,2,3,4,5,6 sonlari va ular bilan, shu7 modul bo’yicha taqqoslanuvchi barcha sonlar 3 asosga ko’ra

Bo’lgani uchun mos ravishda 0,2,1,4,5,3 kabi indekslarga ega . Endi asos bo’lsin .U holda asos bo’yicha tuzilgan indekslar mos ravishda 0,4,5,2,1,3 sonlariga teng.

Taqqoslama o’rinli bo’ladi.Bu taqqoslamaning ikkala qismini katta noldan darajaga ko’tarib

ga ega bo’lamiz.Endi va taqqoslamalarni hadlab ko’paytirib,

Taqqoslamaga ega bo’lamiz. taqqoslama esa har bir shartni qanoatlantiruvchi soni boshlang’ich ildiz bo’yicha cheksiz ko’p indeksga ega ekanini ko’rsatadi. Bu indekslarning barchasi

Taqqoslamani qanoatlantiradi. ning o’rinli bo’lishi uchun

Taqqoslamani bajarilishi zarur va yetarli.Demak,p modul bo’yicha tuzilgan va p bilan o’zaro tub bo’lgan har bir sinfga taqqoslama bilan aniqlanuvchi indekslar to’plami mos keladi va aksincha. Bu tushunchalarga ko’ra bo’lsa u holda
inda=indb(modp-1) (10)
_{Indekslar quyidagi xossalarga ega:}

1. 
   
   _{Ko’paytmaning indeksi modul bo’yicha ko’paytuvchilar indekslariningyig’indisi bilan taqqoslanadi,yani}
   

(11)
Isboti.Indeksning tarifiga asosan quyidagi taqqoslamani yozib olamiz:

Bularni hadlab ko’paytiramiz.U holda
(12)
Taqqoalama hosil bo’ladi. Bundan va ga asosan
(13)
2.Natural ko’rsatgichlidarajaning indeksi modul bo’yicha asos indeksi va daraja ko’rsatgichining ko’paytmasi bilan taqqoslanadi,ya’ni

Isboti. Faraz qilaylik bo’lsin.U holda 1-xossaga asosan

Yoki

Hosil bo’ladi.

3. ixtiyopriy tub son bo’lganda modul bo’yicha 1 ning indeksi nolga,asos ning indeksi esa 1 gateng bo’ladi.
Haqiqatan, va bo’lganidan va dir. Demak ,indekslar ham logarifmlar kabi xossalarga ega ekan.
Indekslar jadvali. Logarifmik jadvallar mavjud bo’lganidek,ixtiyoriy tub modul bo’yicha indekslar jadvalini tuzish mumkin.Indekslarni asos qilib sonningbirorta boshlang’ich ildizi olinadi.Dastlabki indekslar jadvalini rus matematigi M.V. Ostrogratskiy tuzgan.U 1837 yilda 200 gacha bo’lgan tub modullar uchun indekslar jadvalini tuzdi.Hozirgi kunda bunday jadvallar 10000 ga cha tub modullar uchun tuzilgan.
Har bir jadval quyidagi 2 ta qismdan iborat bo’ladi: 1)Berilgan sonlar bo’yicha I indeksni topish 2)Berilgan I indeks bo’yicha n sonni toping.
Biror modul bo’yicha indekslar jadvalini tuzish uchun avvalo modul bo’yicha boshlang’ich ildizni topish lozim. So’ngra

Darajalar modul bo’yicha eng kichik musbat chegirmalarga almashtiriladi. Masalan , modul bo’yicha indekslar va ularga mos sonlar jadvalini tuzaylik. Bevosita hisoblash usuli bilan 2,6,7,8 lar 11 modul bo’yicha boshlang’ich ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

Haqiqatan, bo’lgani uchun

larga asosan 2 boshlang’ch ildizdir.

Demak ,11 modul bo’yicha 6 ham boshlang’ich ildiz ekan.
Endi asos 2 bo’lganda quyidagi jadvallarni tuzamiz:

L	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N	10	1	8	2	4	9	7	3	6	5

L	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N	2	4	8	5	10	9	7	3	6	1

Birinchi jadvalga asosan ,son berilsa ,indeks topiladi,ikkinchi jadvalga asosan esa indeksga qarab son topiladi.

modul bo’yicha 3,5,12,18,19,20,26,28,30,33,34 sonlar boshlang'ich ildizdir. bo’lganda quyidagi jadvallarga ega bo’lamiz.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		42	39	17	36	5	4	7	33	34
1	2	6	11	40	4	22	30	16	31	29
2	41	24	3	20	8	10	37	9	1	25
3	19	32	27	23	13	12	28	35	26	5
4	38	18	21

Bu jadvallardagi satrlar va ustunlar mos ravishda sonning o’nlik va birlik xonasini ularning kesishgan joyida izlanayotgan indeks turadi.