Ta’rif. Agar g son r tub modul bo`yicha boshlang`ich ildiz bo`lib, (a; r)=1 bo`lganda g=a(mod r) taqqoslama to`g`ri bo`lsa, u holda 0 butun son a sonning r modul bo`yicha g asosga nisbatan indeksi deyiladi va u =indg a kabi belgilanadi. Agar asos oldindan berilgan bo`lsa, a ning indeksi ind a orqali belgilanadi. Yuqoridagi tushunchalarga asosan, har bir (a; r)=1 shartni qanoatlantiruvchi a son, berilgan asos bo`yicha
0, 1, 2, ... r-2 (3)
sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan. Asosning o`zgarishi bilan indeks ham o`zgaradi. Har bir (a; r)=1 qanoatlantiruvchi a soni, g boshlang`ich ildiz bo`yicha cheksiz ko`p indeksga ega bo`ladi. Bu indekslarning barchasi (modr) taqqoslamani qanoatlantiradi. Bu taqqoslama o`rinli bo`lishi uchun 1(mod r-1) taqqoslamaning bajarilishi zarur va etarlidir.
Indekslar quyidagi xossalarga ega:
10. a b(mod r) <=> inda =indb.
20. Agar (a;r)=1, (b;r)=1 bo`lsa, u holda ind(ab)=inda+ +indb(mod p-1) bo`ladi.
Bu taqqoslamalarni hadma-had ko`raytirib =ab(modr) taqqoslamaga ega bo`lamiz. Bundan r1+r2=ind(ab) kelib chiqadi. r1+r2=r bo`lib, u holda ind(ab)=inda+indb (mod p-1) bo`ladi. Bu esa r=r1+ +r2 (mod p -1) demakdir.
Shu yul bilan Ind(a1 a2....an) inda1+inda2+...+indan(mod p-1) taqqoslama isbotlanadi.
30. Agar (a;r)=1 va nN bo`lsa, u holda ind(an) ninda(mod p-1) taqqoslama o`rinli bo`ladi.
40. ind inda - indb(mod p-1) taqqoslama o`rinli.
50. ind1=0 , indgg=l.
Ta’rif. Agar a son m songa bo`linmasa, u holda ushbu
ax2+bx+c=0(modm) (4)
ko`rinishdagi taqqoslama ikkinchi darajali (kvadratik) taqqoslama deyiladi.
Ta’rif. Agar a son r tub songa bo`linmasa, u holda ushbu
axn=b(mod r) ( n N) (5)
ko`rinishdagi taqqoslamani n-darajali ikki hadli taqqoslama deyiladi.
(5) ning har ikki qismini a ga bo`lib, so`ng indekslab nindx=indb- inda(mod p-1) taqqoslamaga ega bo`lamiz.
(n; p-1)=d bo`lsin. Bu taqqoslama echimga ega bo`lishi uchun d ning indb-inda ayirmaga bo`linishi zarur va etarli. Agar bu shart bajarilsa, u holda bu taqqoslama, shu jumladan (5) taqqoslama ham d ta echimga ega bo`ladi.
