O’zbеkiston rеspublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi

O’ZBЕKISTON RЕSPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA'LIM VAZIRLIGI





Mavzu: Tub model bo`yicha indekslar, ularning tadqiqlari

Bajardi: _____________

Ilmiy rahbar: _____________

REJA:
1.1	Tub modul bo’yicha yuqori darajali taqqoslamalar
1.2	Miqdor ko’rsatkichlari indekslari
1.3	Sifat ko’rsatkichlari indekslari
1.4	O’zgaruvchan va o’zgarmas tarkibli hamda tarkibiy siljishlar indekslari
1.5	Bazisli, zanjirsimon va hududiy (territorial) indekslar

Tub modul bo’yicha yuqori darajali taqqoslamalar.

TA`RIF. Agar 𝑎<sub>𝑛</sub>, 𝑎<sub>𝑛−1</sub>, … 𝑎<sub>1</sub>, 𝑎<sub>0</sub> sonlar butun sonlar, p-tub son, 𝑎<sub>𝑛</sub> son 𝑝
ga bo`linmasa

𝑎_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝) (1) taqqoslama 𝑝 −tub modulli 𝑛 −darajali taqqoslama deyiladi.

1. 
   TEOREMA. (1) taqqoslama, ya`ni tub modulli 𝑛 −darajali taqqoslama yechimlari soni 𝑛 tadan ortiq emas.
   

ISBOTI. 𝑛 ga nisbatan induksiya metodidan foydalanamiz. Agar 𝑛 = 0 bo`lsa, u holda 𝑎<sub>0</sub> ≡ 0<sup>(</sup>𝑚𝑜𝑑𝑝<sup>)</sup> 𝖠 𝑎<sub>0</sub> ∤ 𝑝 bo`lib, berilgan taqqoslama 0 ta yechimga ega. Faraz qilaylik (1) taqqoslamaning darajasi 𝑛 > 0 bo`lsin. Agar bu taqqoslama yechimga ega bo`lsa, u holda ∃𝑥₁ son uchun
𝑎_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₀ ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝) (2)
1 1

o`rinli bo`ladi. (1) dan (2) ni ayiramiz, u holda 𝑘-darajali hadlar ayirmasi

𝑎_𝑘(𝑥^𝑘 − 𝑥^𝑘) = 𝑎_𝑘⁽𝑥 − 𝑥₁⁾(𝑥^𝑘−1 + 𝑥^𝑘−2𝑥₁ + 𝑥^𝑘−3𝑥² + ⋯ + 𝑥𝑥^𝑘−2 + 𝑥^𝑘−2)
1 1 1 1

𝑘 = 1,2, … , 𝑛 da har bir ayirma ⁽𝑥 − 𝑥₁⁾ ko`paytuvchiga ega bo`ladi. Shuning uchun natijani

(𝑥 − 𝑥₁) ∙ (𝑏_𝑛−1𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑏₂) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝) (3)
(1) ning ∀ boshqa 𝑥₂ yechimi
𝑏_𝑛𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑏₁𝑥 + 𝑏₀ ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝) (4) taqqoslamaning yechimi bo`ladi.
(4) ning darajasi 𝑛 −dan kichik bo`lgani uchun uning yechimlari soni 𝑛 − 1
dan katta emas, demak (1) ning yechimalri soni 𝑛 tadan ko`p emas.
1-NATIJA. Agar 𝑎<sub>𝑛</sub>𝑥<sup>𝑛</sup> + ⋯ + 𝑎<sub>1</sub>𝑥 + 𝑎<sub>0</sub> ≡ 0<sup>(</sup>𝑚𝑜𝑑𝑝<sup>)</sup> taqqoslama 𝑛 tadan ortiq yechimga ega bo`lsa, u holda uning barcha koeffitsientlai 𝑝 ga bo`linadi.
Haqiqatan, (1) taqqoslama kamida 𝑛 + 1 ta yechimga bo`lsin va
𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1 lar bu yechimlarning bittadan chegirmalari bo`lsin, u holda
𝑓(𝑥) ni quyidagi ko`rinishda yoza olamiz.
𝑓⁽𝑥⁾ = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)⁽𝑥 − 𝑥₂⁾ … ⁽𝑥 − 𝑥_𝑛−1⁾⁽𝑥 − 𝑥_𝑛⁾ + 𝑏⁽𝑥 − 𝑥₁⁾⁽𝑥 − 𝑥₂⁾ … ⁽𝑥 −
𝑥_𝑛−1⁾ + 𝑐⁽𝑥 − 𝑥₁⁾⁽𝑥 − 𝑥₂⁾ … ⁽𝑥 − 𝑥_𝑛−2⁾ + ⋯ + 𝑘⁽𝑥 − 𝑥₁⁾⁽𝑥 − 𝑥₂⁾ +
𝑙⁽𝑥 − 𝑥₁⁾ + 𝑚 (2)
(2) ga ketma-ket 𝑥 = 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1 larni qo`yib, barcha
𝑚, 𝑙, 𝑘, … , 𝑐, 𝑏, 𝑎 larning 𝑝 ga karrali ekanini ko`ramiz. Demak, barcha
𝑎₀, 𝑎₁, … , 𝑎_𝑛 lar ham 𝑝 ga karrali.

2. 
   TEOREMA. Agar 𝑝 −tub son bo`lsa, u holda 𝑥^𝑝−1 − 1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
   

taqqoslama 𝑝 − 1 ta yechimga ega bo`ladi.
ISBOTI. Ferma teoremasiga ko`ra, 𝑥^𝑝 = 𝑥(𝑚𝑜𝑑𝑝) yoki 𝑥^𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝) bo`lib, uning yechimlari esa, 𝑝 ga bo`linmaydigan 1,2, … , 𝑝 − 1 lardan iborat bo`ladi.
Masalan, 𝑥<sup>7−1</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)
𝑥<sup>6</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7) taqqoslamaning yechimlari, 1,2,3,4,5,6 bo`ladi.

3. 
   TEOREMA. (1) taqqoslama darajasi 𝑝 − 1 dan katta bo`lmagan taqqoslamaga teng kuchli.
   

ISBOTI. 𝑓(𝑥) ni 𝑥^𝑝 − 𝑥 ga bo`lib,
𝑓<sup>(</sup>𝑥<sup>)</sup> = <sup>(</sup>𝑥<sup>𝑝</sup> − 𝑥<sup>)</sup>𝑎<sup>(</sup>𝑥<sup>)</sup> + 𝑅(𝑥)
ga ega bo`lamiz. 𝑅(𝑥) ning darajasi 𝑝 − 1 dan katta emas. Ferma teoremasiga ko`ra,
𝑥<sup>𝑝</sup> − 𝑥 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
taqqoslama o`rinli bo`lgani uchun 𝑓(𝑥) ≡ 𝑅(𝑥)(𝑚𝑜𝑑𝑝) taqqoslama o`rinli.

4.