Mavzu:Erkli va bog‘liq hodisalar ehtimollarini ko‘paytirish teoremalari. Bjardi:Xurramov Bobur Tekshirdi:Tosheva Muhabbat
Reja:
Hodisalar ustida amallar
Erkli hodisalar
Bog’liqli hodisalar
Ehtimollarni ko’paytirish
Hodisalar ustida amallar
Hodisa ko’p hollarda ikki yoki undan ortiq hodisalar to’plami sifatida ham qaraladi. Bunday hodisalar murakkab hodisalar deb atalib, biz bu mavzuda ularni ta’riflashga o’tamiz.
Ikkita A va B hodisalarning yig’indisi (birlashmasi) deb, A yoki B hodisaning, yoki ikkala hodisaning ham ro’y berishidan iborat bo’lgan hodisaga aytiladi. A va B hodisalar yig’indisini (birlashmasini) A B ∪ ko’rinida belgilaymiz. Shunday qilib, A B ∪ hodisa A yoki B , yoki ikkala hodisaning ro’y berishini ifodalaydigan barcha elementar hodisalardan iboratdir.
Ikkita A va B hodisalarning ko’paytmasi (kesishmasi) deb, bu hodisalarning bir paytda ro’y berishidan iborat hodisaga aytiladi. A va B hodisalarini ko’paytmasini (kesishmasini) A B ∩ ko’rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, A B ∩ hodisa A va B hodisalarning bir paytda ro’y berishini ifodalaydigan barcha elementar hodisalaridan iborat
Hodisalar ustida amallar
Biz bundan keying belgilaslarimizda A B ∪ o’rniga A B + belgini, A B ∩ o’rniga esa AB belgini ishlatamiz. Hodisalar yig’indisi va ko’paytmasi Venn diagrammasi orqali quyidagicha tasvirlanadi.
Hodisalar ustida amallar
Yuqorida keltirilgan A BA B ∪ ∩ , murakkab hodisalarni ko’p hollarda A va B hodisalar ustida bajarilgan amallar deb ham qaraladi. Bu amallar yordamida biz hodisalarni klassifikatsiyalashimiz mumkin:
agar A hodisaning ro’y berishi B hodisa ro’y berishini yo’qqa chiqarsa va shu bilan birgalakda B hodisaning ro’y berishi A hodisa ro’y berishini yo’qqa chiqarsa, u holda bu hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda esa bu hodisalar birgalikda deyiladi;
agar A hodisaning ro’y berishi B hodisa ro’y berishiga bog’liq bo’lmasa va shu bilan birgalakda B hodisaning ro’y berishi A hodisa ro’y berishiga bog’liqbo’lmasa, u holda bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi. Aks holda esa bu hodisalar erksiz deyiladi.
Ko’p hollarda A B + hodisani A va B hodisalarning hech bo’lmaganda bittasining ro’y berishi, AB hodisani esa A va B hodisalarning bir paytda ro’y berishi deb ham qaraladi
Bog’liqli hodisalar
Teorema. To‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartidagina ro‘y beradigan A hodisaning ehtimoli shu hodisalardan har birining ehtimolini A hodisaning mos shartli ehtimoliga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:
Isbot. Shartga ko‘ra A hodisa ro‘y berishi uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalarning bittasi ro‘y bergan bo‘lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, A hodisaning ro‘y berishi birgalikda bo‘lmagan hodisalarning qaysi biri bo‘lsa ham, bittasining ro‘y berishini bildiradi. A hodisaning ehtimolini xisoblash uchun qo‘shish teoremasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
Bog’liqli hodisalar
Har bir qo‘shiluvchini xisoblash lozim. Bog‘liq hodisalar ehtimollarini ko‘paytirish formulasiga asosan
Bog’liqli hodisalar
Bu tengliklarning o‘ng tomonidagi ifodalarni (1) munosabatga qo‘yib, to‘la ehtimol formulasini hosil qilamiz:
Ehtimollarni ko’paytirish
Аgаr A B, erkli (bog’liqmаs) hodisаlаr bo’lsа, u holdа AB – hodisaning ro’y berish ehtimoli A va B hodisаlаr ehtimollаrining ko’pаytmаsigа teng:
1-mergan otgan o’qning nishonga tegish ehtimoli P A( ) 0,8 = , 2- mergan uchun bu ehtimollik P B( ) 0,7 = bo’lsin. Agar ayiq o’lishi uchun unga ikkita o’qning tegishi shart bo’lsa, u holda ikkala mergan o’q uzgandan so’ng, ayiqning o’lish ehtimoli topilsin.
Ehtimollarni ko’paytirish
Yechish: Bu yerda A va B hodisalar o’zaro erkli hodisalar ekanligi hamda masalaning yechimi AB hodisaning ro’y berish ehtimolini topishdan iborat ekanligi masala shartidan ko’rinib turibdi. Shu sababli masala yechimini topishda 2-qoidadan foydalanamiz. U holda:
